[论文解读] A sharp Trudinger-Moser type inequality involving $L^{n}$ norm in the entire space $\mathbb{R}^{n}$

Guozhen Lu, Maochun Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文在全空间 $\mathbb{R}^n$ 上建立了涉及 Sobolev 空间 $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 中函数的 $L^n$ 范数的精确 Trudinger-Moser 型不等式，证明当且仅当 $\alpha < 1$ 时上确界为有限值，且当 $\alpha > 0$ 足够小时上确界可被取到。证明依赖于与该泛函相关的 Euler-Lagrange 方程的爆破分析。

ABSTRACT

Let $W^{1,n} ( \mathbb{R}^{n} $ be the standard Sobolev space and $\left\Vert \cdot ight\Vert _{n}$ be the $L^{n}$ norm on $\mathbb{R}^n$. We establish a sharp form of the following Trudinger-Moser inequality involving the $L^{n}$ norm \[ \underset{\left\Vert u ight\Vert _{W^{1,n}\left(\mathbb{R} ^{n} ight) }=1}{\sup}\int_{ \mathbb{R}^{n}}Φ\left( α_{n}\left\vert u ight\vert ^{\frac{n}{n-1}}\left( 1+α\left\Vert u ight\Vert _{n}^{n} ight) ^{\frac{1}{n-1}} ight) dx0$ is sufficiently small. The proof is based on the method of blow-up analysis of the nonlinear Euler-Lagrange equations of the Trudinger-Moser functionals. Our result sharpens the recent work \cite{J. M. do1} in which they show that the above inequality holds in a weaker form when $Φ(t)$ is replaced by a strictly smaller $Φ^*(t)=e^{t}-\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum}}% \frac{t^{j}}{j!}$. (Note that $Φ(t)=Φ^*(t)+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$).

研究动机与目标

• 在无界区域 $\mathbb{R}^n$ 上建立一个包含函数 $L^n$ 范数的精确 Trudinger-Moser 型不等式。
• 确定涉及 $W^{1,n}$ 范数与 $L^n$ 范数的 Trudinger-Moser 泛函上确界为有限值的精确临界阈值。
• 证明当 $\alpha > 0$ 足够小时，该泛函存在极值函数。
• 通过用完整函数 $\Phi(t) = e^t - \sum_{j=0}^{n-2} \frac{t^j}{j!}$ 替代截断函数 $\Phi^*(t)$，对先前已知的不等式进行改进与强化。

提出的方法

• 作者采用爆破分析方法，研究使 Trudinger-Moser 泛函取最大值的序列的集中紧致性行为。
• 通过分析与泛函相关的 Euler-Lagrange 方程，识别爆破形式并推导渐近估计。
• 构造一个在某一点集中、利用截断与缩放的测试函数 $u_\varepsilon$，以模拟爆破行为。
• 利用 $\varepsilon$、$R = \log(1/\varepsilon)$ 以及极限型函数的 $L^n$ 范数，对泛函进行精确的渐近展开。
• 将泛函拆分为小球 $B_{R\varepsilon}$ 内部与外部的积分，以分别估计集中效应与尾部行为的贡献。
• 通过与已知极值函数比较，验证当 $\alpha \geq 1$ 时上确界发散，从而确认常数 $\alpha_n$ 的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 使得包含 $\|u\|_{W^{1,n}}$ 与 $\|u\|_n$ 的 Trudinger-Moser 泛函在 $\mathbb{R}^n$ 上有界的最优常数 $\alpha$ 是什么？
• RQ2 在哪些 $\alpha$ 值下，该泛函的上确界为有限值，何时为无穷大？
• RQ3 当 $\alpha > 0$ 足够小时，该泛函的上确界是否在 $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 中被某个函数取到？
• RQ4 在无界区域中，$L^n$ 范数的引入如何改变 Trudinger-Moser 不等式的最优常数与结构？

主要发现

• 当且仅当 $\alpha < 1$ 时，Trudinger-Moser 泛函的上确界为有限值，最优常数为 $\alpha_n = n\omega_{n-1}^{1/(n-1)}$。
• 当 $\alpha \geq 1$ 时，上确界为无穷大，表明该临界阈值是精确的。
• 当 $\alpha > 0$ 足够小时，上确界可被 $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 中某个函数取到，从而证明了极值函数的存在性。
• 该泛函严格大于先前使用 $\Phi^*(t)$ 得到的不等式，因为 $\Phi(t) = \Phi^*(t) + \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$，表明实现了严格改进。
• 爆破分析表明极值函数在某一点集中，其渐近行为由极限型函数的 $L^n$ 范数控制。
• 证明表明，即使经典 Trudinger-Moser 不等式在无界区域中不成立，当 $\alpha \geq 1$ 时该泛函仍发散。