[论文解读] A sheaf-theoretic model for SL(2,C) Floer homology

Mohammed Abouzaid, Ciprian Manolescu|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用 14

一句话总结

本文通过在Heegaard曲面的特征簇上使用d-临界点集和去偏层的消失上同调，构建了SL(2,C)瞬子Floer同调的层论模型。通过将两个复拉格朗日子流形在对应不可约表示的光滑开子集上的交集关联到一个去偏层，作者证明了该层的上同调是3-流形的不变量，且与Heegaard分裂无关，从而为SL(2,C) Floer同调提供了一个无需规范场论的代数模型。

ABSTRACT

Given a Heegaard splitting of a three-manifold Y, we consider the SL(2,C) character variety of the Heegaard surface, and two complex Lagrangians associated to the handlebodies. We focus on the smooth open subset corresponding to irreducible representations. On that subset, the intersection of the Lagrangians is an oriented d-critical locus in the sense of Joyce. Bussi associates to such an intersection a perverse sheaf of vanishing cycles. We prove that in our setting, the perverse sheaf is an invariant of Y, i.e., it is independent of the Heegaard splitting. The hypercohomology of this sheaf can be viewed as a model for (the dual of) SL(2,C) instanton Floer homology. We also present a framed version of this construction, which takes into account reducible representations. We give explicit computations for lens spaces and Brieskorn spheres, and discuss the connection to the Kapustin-Witten equations and Khovanov homology.

研究动机与目标

• 构建SL(2,C)瞬子Floer同调的代数化、无需规范场论的模型。
• 克服3-流形中平坦SL(2,C)联络模空间的非紧性和奇点问题。
• 证明所得不变量与Heegaard分裂无关，从而定义3-流形的拓扑不变量。
• 将构造推广至框架化版本，并与Khovanov同调及Kapustin-Witten方程建立联系。
• 对透镜空间和Brieskorn球面进行显式计算，并探索其与TQFT及范畴化的关系。

提出的方法

• 作者考虑Heegaard曲面Σ的SL(2,C)特征簇，重点关注不可约表示的开子集X_irr(Σ)。
• 他们为Heegaard分裂的两个长柄体分别关联两个复拉格朗日子流形L₀和L₁，其交集微分同胚于X_irr(Y)。
• 通过拉格朗日交的导出结构，证明交集L₀ ∩ L₁是Joyce意义下的定向d-临界点集。
• 利用Bussi的理论，为该d-临界点集关联一个消失上同调的去偏层，其定义在准同构意义下是良定义的。
• 提议将该去偏层的上同调作为SL(2,C)瞬子Floer同调的对偶模型。
• 通过粘合论证及d-临界结构的性质，证明该构造在不同Heegaard分裂下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不计数PDE解的情况下，以代数方式定义SL(2,C)瞬子Floer同调？
• RQ2 与3-流形的不同Heegaard分裂相关的拉格朗日交的消失上同调去偏层是否为不变量？
• RQ3 该层论构造如何与Kapustin-Witten方程及Khovanov同调的物理构想相联系？
• RQ4 能否通过框架化不变量的版本将可约表示纳入构造中？
• RQ5 在Zentner关于不可约SL(2,C)表示存在的结果下，不变量HP*(Y)是否能从同调球中检测出3-球面？

主要发现

• 与拉格朗日交关联的消失上同调去偏层的上同调是3-流形Y的不变量，且与Heegaard分裂的选择无关。
• 该构造为SL(2,C)瞬子Floer同调提供了纯粹代数化的模型，避免了对非紧模空间的直接规范场论分析。
• 对透镜空间和Brieskorn球面进行了显式计算，结果与这些情形下的已知不变量一致。
• 框架化版本的构造纳入了可约表示，并将不变量扩展至包含轨道丛结构和扭曲特征簇的情形。
• 该不变量被猜想是3+1维TQFT的一部分，且可能通过Kapustin-Witten方程对琼斯多项式实现范畴化。
• 论文尚开放一个问题：HP*(Y)是否能从同调球中检测出S³，尽管Zentner的结果为该问题提供了潜在路径。