[论文解读] A short-memory operator splitting scheme for constant-Q viscoelastic wave equation

Yunfeng Xiong, Xu Guo|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 42被引用 13

一句话总结

该论文提出了一种短记忆算子分裂（SMOS）方案，用于使用多个接近零阶的Caputo导数的分数阶应力-应变关系求解常Q粘弹性波方程。通过采用一种通过拉盖尔函数将弱奇异核局部化的扩展方法重新表述问题，该方法在保持精度的同时降低了内存和计算成本。关键贡献在于引入了β > 1的缩放技术，以抑制随时间恶化的投影误差，从而实现在一维和二维波问题中高效且稳定的长时间模拟。

ABSTRACT

We propose a short-memory operator splitting scheme for solving the constant-Q wave equation, where the fractional stress-strain relation contains multiple Caputo fractional derivatives with order much smaller than 1. The key is to exploit its extension problem by converting the flat singular kernels into strongly localized ones, so that the major contribution of weakly singular integrals over a semi-infinite interval can be captured by a few Laguerre functions with proper asymptotic behavior. Despite its success in reducing both memory requirement and arithmetic complexity, we show that numerical accuracy under prescribed memory variables may deteriorate in time due to the dynamical increments of projection errors. Fortunately, it can be considerably alleviated by introducing a suitable scaling factor $\beta > 1$ and pushing the collocation points closer to origin. An operator splitting scheme is introduced to solve the resulting set of equations, where the auxiliary dynamics can be solved exactly, so that it gets rid of the numerical stiffness and discretization errors. Numerical experiments on both 1-D diffusive wave equation and 2-D constant-Q $P$- and $S$-wave equations are presented to validate the accuracy and efficiency of the proposed scheme.

研究动机与目标

• 为解决由于极小阶数的分数阶导数导致的常Q粘弹性波方程求解中高内存和计算成本的问题。
• 克服由非衰减源累积投影误差导致的短记忆方法中随时间恶化的数值精度问题。
• 开发一种高效、稳定且准确的数值格式，避免在具有本征衰减的波建模中出现刚性问题和离散化误差。
• 在广义拉盖尔插值框架内，对拉盖尔谱方法进行严格分析，以实现分数阶导数的近似。
• 在考虑实际地震应用的前提下，对一维扩散波和二维常Q P波与S波方程验证该方法。

提出的方法

• 通过引入辅助记忆变量 y ∈ (0, ∞) 的扩展问题，重新表述常Q波方程，将平坦的奇异核转化为强局部化的核。
• 应用广义拉盖尔-高斯求积法近似半无限区间上的弱奇异积分，仅用少量配点即可捕捉主要贡献。
• 在拉盖尔函数中引入β > 1的缩放因子，将配点向原点移动，从而减少投影误差随时间的动力学增量。
• 实施算子分裂格式，将波动力学与辅助记忆动力学解耦，实现对辅助系统的精确求解，消除数值刚性。
• 采用混合数值方法评估Mainardi函数：对小x使用拉盖尔-高斯求积，对大x使用渐近展开，并通过阈值切换确保精度与稳定性。
• 结合Yuan-Agrawal方法与理论分析，证明短记忆近似的合理性，并在广义拉盖尔插值背景下量化误差传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 短记忆原理能否有效应用于具有多个接近零阶Caputo分数阶导数的常Q粘弹性波方程？
• RQ2 在基于拉盖尔谱方法的短记忆格式中，投影误差的动力学生长如何影响长时间模拟的数值精度？
• RQ3 β > 1的缩放技术是否能显著抑制此类格式中投影误差的时间恶化行为？
• RQ4 算子分裂是否能实现稳定且准确的时间积分，而不会引入刚性或离散化误差？
• RQ5 在不同参数区域内，评估Mainardi函数的最优策略是什么，以确保鲁棒性与精度？

主要发现

• 所提出的SMOS方案在模拟一维扩散波和二维常Q P波与S波方程时，实现了极低内存使用和低算术复杂度下的高精度与高效率。
• 引入β > 1的缩放因子有效缓解了投影误差的时间恶化行为，稳定了长时间模拟。
• 数值实验表明，即使仅使用少量记忆变量（如10–20个），该方法仍能保持高精度，将三维问题中的存储需求从约90 GB降低至可管理的水平。
• 算子分裂方法成功地将波动力学与记忆动力学解耦，实现了对辅助系统的精确积分，消除了与刚性相关的误差。
• 对Mainardi函数的混合评估策略——小x使用拉盖尔求积，大x使用渐近展开——结合阈值切换规则，确保了在所有参数区域内的高精度。
• 理论分析证实，该方法的误差增长是可控的，且缩放技术为标准短记忆近似中的固有不稳定性提供了实用的解决方案。