[论文解读] A Short Note on Gaps between Powers of Consecutive Primes

David Lowry-Duda|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明了对于任意满足 α + β < 1 的非负 α, β，极限下确界 liminf pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 为零，利用了近期在有界素数间隔方面的进展（例如，Polymath8 项目关于相差至多 246 的素数对的结果）。该结果强化了 Sándor 早期的工作，并为 Andrica 及相关素数幂间隔猜想提供了新证据。

ABSTRACT

Let $α, β\geq 0$ and $α+ β&lt; 1$. In this short note, we show that $\liminf_{n o \infty} p_n^β(p_{n+1}^α- p_n^α) = 0$, where $p_n$ is the $n$th prime. This notes an improvement over results of Sándor and gives additional evidence towards a conjecture of Andrica. This follows directly from recent results on prime pairs from Maynard, Tao, Zhang.

研究动机与目标

• 建立关于连续素数幂差值增长的新界限。
• 将 Sándor 关于平方根间隔的结果推广至更广泛的指数 α 和 β 类别。
• 为 Andrica 猜想及其推广提供支持证据。
• 在有界素数间隔假设下，探讨 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 的行为。
• 提出关于此类表达式一致有界的更强猜想。

提出的方法

• 对函数 x ↦ x^α 在区间 [p, p+246] 上应用中值定理，其中 p 为素数。
• 利用 Polymath8 项目的结果：存在无穷多对素数，其间隔至多为 246。
• 通过 q ∈ [p, p+246] 的导数 αq^{α−1} 来界定差值 (p+246)^α − p^α。
• 估计所得表达式 p^β × 246αq^{α−1} ≤ 246αp^{α+β−1}，以证明当 p → ∞ 时其趋于零。
• 利用 α + β − 1 < 0 的事实，得出极限下确界为零。
• 通过与 Cramér 猜想比较并利用 (log p)^2 边界估计间隔，支持更强的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有满足 α + β < 1 的 α, β ≥ 0，表达式 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 的极限下确界是否趋于零？
• RQ2 该结果能否在相同指数约束下推广至一致有界的表达式？
• RQ3 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 的衰减速率与素数间隔大小有何关系？
• RQ4 这对 Andrica 猜想及其推广有何影响？
• RQ5 在广义方程 pₙ₊₁^α − pₙ^α = C 中，pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 的行为如何随 C 变化？

主要发现

• 对于所有满足 α + β < 1 的 α, β ≥ 0，表达式 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 的极限下确界恰好为零。
• 该结果推广了 Sándor 于 1985 年的定理（对应于 α = 1/2, β = 1/4）。
• 证明依赖于 Polymath8 项目所确立的事实：存在无穷多对素数，其间隔至多为 246。
• 通过有界 246αp^{α+β−1} 证明了该表达式的衰减，且当 p → ∞ 时其趋于零。
• 通过启发式论证表明，在 Cramér 猜想下，猜想 2 —— 即 pₙ₊₁^α − pₙ^α 一致有界 —— 极有可能成立。
• 提出了一个更强的猜想：对于所有满足 α + β < 1 的 α, β ≥ 0，表达式 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) 由常数 C(α, β) 一致有界。