[论文解读] A short proof of unique ergodicity of horospherical foliations on infinite volume hyperbolic manifolds

Barbara Schapira|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在假设测地流具有有限最大熵测度且群 $Γ$ 为泽里斯基稠密的条件下，给出了无限体积双曲流形上水平超平面叶状结构唯一遍历性的简洁证明。通过结合平均的等度连续性与测地流的混合性质，作者证明了在框架丛的径向部分上，任意 $N$-不变的保守测度必与鲍温-玛格利斯测度成比例，从而确立了其唯一性（至多缩放因子）。

ABSTRACT

We give a short proof of the unique ergodicity of the strong stable foliation of the geodesic flow on the frame bundle of a hyperbolic manifold admitting a finite measure of maximal entropy. Equivalently, let G = S0o(n, 1), $\\Gamma$ \ extless{} G be a discrete subgroup of G, and G = N AK the Iwasawa decomposition of G. If the geodesic flow on $\\Gamma$\\G admits a finite measure of maximal entropy, we prove that the action of N on $\\Gamma$\\G by right multiplication admits a unique invariant measure supported on points whose A-orbit does not diverge.

研究动机与目标

• 提供罗布林关于无限体积双曲流形上水平超平面叶状结构唯一遍历性结果的简化证明。
• 将唯一遍历性的框架拓展至非有限体积情形，其中不存在同时关于 $A$ 和 $N$ 遍历的不变测度。
• 在测地流具有最大熵测度的条件下，确立在径向集 $Ω_{rad}^{φ}$ 上 $N$-不变保守测度的唯一性。
• 通过等度连续性与混合性论证，规避无限体积情形下有限不变测度的缺失。

提出的方法

• 利用 Iwasawa 分解 $G=NAK$ 将测地流与水平流提升至框架丛 $Γ\backslash G$ 上。
• 应用 Patterson-Sullivan $δ_\u0393$-共形密度及其在 $Γ$-作用与布塞曼函数下的性质。
• 通过控制 $N$-球的边界测度，建立沿 $N$-轨道的时间平均可观测量的等度连续性。
• 利用测地流 $A$-作用的混合性，证明在径向集的紧子集上平均的均匀收敛性。
• 通过逼近与误差控制，证明横截测度 $ν_{T,t_k}$ 弱收敛至鲍温-玛格利斯横截测度。
• 通过子列选取与边界测度控制，将问题约化为对扩张 $N$-球上平均的收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测地流具有有限最大熵测度时，无限体积双曲流形上水平超平面叶状结构是否唯一遍历？
• RQ2 能否为罗布林在无限体积情形下的唯一遍历性结果提供更简明的证明？
• RQ3 在缺乏有限不变测度的情形下，如何利用等度连续性与混合性来控制 $N$-平均的收敛性？
• RQ4 径向集 $Ω_{rad}^{φ}$ 在刻画 $N$-不变测度中起何种作用？
• RQ5 鲍温-玛格利斯测度在多大程度上可被表征为径向集上唯一的 $N$-不变保守测度？

主要发现

• 在测地流具有有限最大熵测度的假设下，$Ω_{rad}^{φ}$ 上的 $N$-不变保守测度唯一（至多缩放因子）。
• 该证明依赖于沿 $N$-轨道的时间平均可观测量的等度连续性，其由 $N$-球的边界测度较小所保证。
• 测地流的混合性意味着时间平均在径向集的紧子集上一致收敛至鲍温-玛格利斯积分。
• 横截测度 $ν_{T,t_k}$ 弱收敛至鲍温-玛格利斯横截测度，表明任意 $N$-不变测度必与 $m_{BM}$ 成比例。
• 在子列上，扩张 $N$-球上平均的误差项因体积与边界测度的多项式增长而趋于零。
• 该结果在所有维度 $n \geq 2$ 下成立，通过参考文献 [Hoc10] 将先前结果推广至任意维度。