[论文解读] A short proof on the rate of convergence of the empirical measure for the Wasserstein distance

Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提供了在 d 维平坦环面上，当真实测度具有有界密度时，经验测度与真实测度之间期望 Wasserstein 距离以 $ n^{-1/d} $ 速率收敛的简洁证明。该方法利用 Wasserstein 距离与负 Sobolev 范数之间的联系，结合傅里叶分析与核平滑技术，建立了紧致的收敛速率，其在二维情况下与极小极大下界仅相差对数因子。

ABSTRACT

We provide a short proof that the Wasserstein distance between the empirical measure of a n-sample and the estimated measure is of order n^-(1/d), if the measure has a lower and upper bounded density on the d-dimensional flat torus.

研究动机与目标

• 在有界密度假设下，建立经验测度在 Wasserstein 距离下收敛速率的紧致、简洁证明。
• 通过将定义域限制在 d 维平坦环面而非凸区域，避免边界效应。
• 利用傅里叶分析与最优传输工具，证明 $ n^{-1/d} $ 速率是最优的（在二维情况下仅相差对数因子）。
• 通过最优传输理论中的关键不等式，将 Wasserstein 距离与负 Sobolev 范数联系起来，统一并简化现有方法。

提出的方法

• 使用不等式 $ W_p(\mu, \nu) \leq p f_{\min}^{1/p - 1} \|f - g\|_{\dot{H}_p^{-1}} $，将 Wasserstein 距离与密度差的负 Sobolev 范数联系起来。
• 应用核平滑技术对经验测度进行正则化，其中 $ \mu_{n,h} $ 表示通过与光滑核 $ K_h $ 卷积得到的平滑经验测度。
• 通过核卷积的运输成本，将 $ \mu_n $ 与 $ \mu_{n,h} $ 之间的 Wasserstein 距离上界控制为 $ C_0 h $。
• 通过傅里叶乘子表达负 Sobolev 范数，特别地使用算子 $ \mathcal{A} $，其满足 $ a(\xi) = 1/|\xi| $（当 $ |\xi| \geq 1 $ 时）。
• 应用 Mikhlin 乘子定理，控制 $ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ 的 $ L_p $-范数，确保相关算子有界。
• 使用 Rosenthal 不等式控制 i.i.d. 中心化随机函数 $ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ 的 $ L_p $-范数，将误差分解为偏差与波动两部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界密度假设下，经验测度在 Wasserstein 距离下收敛的最优速率是什么？
• RQ2 能否利用傅里叶分析与负 Sobolev 范数，简洁地证明 $ n^{-1/d} $ 收敛速率？
• RQ3 该收敛速率如何依赖于维度 $ d $，特别是在低维情形（$ d=1,2 $）？
• RQ4 在平坦环面上，具有有界密度的测度类中，$ n^{-1/d} $ 速率是否为极小极大最优？

主要发现

• 当 $ d \geq 3 $ 时，经验测度 $ \mu_n $ 与真实测度 $ \mu $ 之间期望 $ W_p $-距离被控制在 $ C n^{-1/d} $ 以内，与极小极大速率仅相差常数因子。
• 当 $ d = 2 $ 时，速率为 $ (\log n)^{1/2} n^{-1/2} $，与极小极大速率仅相差对数因子。
• 当 $ d = 1 $ 时，速率为 $ n^{-1/2} $，与已知的极小极大最优速率一致。
• 该证明表明，对于 $ d \geq 3 $，$ n^{-1/d} $ 速率是紧致的，且在二维情况下结果最优，仅相差对数因子。
• 该方法避免了二元划分，转而采用基于负 Sobolev 范数的傅里叶分析方法，简化了分析过程。
• 该框架可推广至 $ s $-Hölder 光滑密度的情形，此时收敛速率提升为 $ n^{-(s+1)/(2s + d)} $，与已知的极小极大结果一致。