[论文解读] A Short Survey of Topological Data Analysis in Time Series and Systems Analysis

Shafie Gholizadeh, Wlodek Zadrozny|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 40被引用 31

一句话总结

本文综述了拓扑数据分析——特别是持久同调——在时间序列与系统分析中的应用，展示了其在检测临界转变（如金融危机）早期预警信号方面的有效性。通过分析从金融时间序列滑动窗口中提取的相关网络的拓扑特征，该方法在崩盘前揭示了持久性景观范数的上升趋势，预警信号可提前多达八个月被检测到。

ABSTRACT

Topological Data Analysis (TDA) is the collection of mathematical tools that capture the structure of shapes in data. Despite computational topology and computational geometry, the utilization of TDA in time series and signal processing is relatively new. In some recent contributions, TDA has been utilized as an alternative to the conventional signal processing methods. Specifically, TDA is been considered to deal with noisy signals and time series. In these applications, TDA is used to find the shapes in data as the main properties, while the other properties are assumed much less informative. In this paper, we will review recent developments and contributions where topological data analysis especially persistent homology has been applied to time series analysis, dynamical systems and signal processing. We will cover problem statements such as stability determination, risk analysis, systems behaviour, and predicting critical transitions in financial markets.

研究动机与目标

• 综述近期拓扑数据分析（TDA）在时间序列与系统分析中的应用，重点聚焦持久同调。
• 考察TDA如何捕捉传统方法可能失效的噪声或高维时间序列数据中的结构特征。
• 研究拓扑不变量在检测金融市场与动力系统中临界转变中的应用。
• 突出持久性图与持久性景观等拓扑特征在识别不稳定性早期迹象方面的鲁棒性。
• 将TDA定位为系统与金融计量经济学中传统信号处理与机器学习的有前景替代方案。

提出的方法

• 使用延迟嵌入或基于相关性的图在滑动窗口中构建单纯复形。
• 应用持久同调计算跨不同尺度的拓扑不变量（条形码、持久性图与持久性景观）。
• 使用Jaccard指数衡量时间序列中连续相关图之间的拓扑变化。
• 计算持久性景观的L^p-范数，以量化随时间演化的拓扑复杂度。
• 分析拓扑不变量的时间序列，检测临界转变前的上升趋势。
• 使用链复形与边界同态计算同调群与欧拉示性数作为拓扑描述符。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑数据分析能否利用时间序列数据检测金融危机的早期预警信号？
• RQ2 持久性图与持久性景观等拓扑不变量如何反映金融相关网络结构的变化？
• RQ3 在噪声系统中，持久同调在识别临界转变方面比传统信号处理更鲁棒到何种程度？
• RQ4 哪些拓扑特征与动力系统及金融时间序列中的系统不稳定性相关？
• RQ5 从滑动窗口相关图中导出的拓扑特征能否在市场崩盘前预测系统性风险？

主要发现

• 持久性景观的L^1与L^2范数在2000年网络泡沫破裂与2008年金融危机前数月显示出显著的上升趋势。
• 拓扑特征在道琼斯工业平均指数达到2008年金融危机峰值前八个月即检测到市场不稳定的早期迹象。
• 持久同调揭示了在重大市场崩盘前，金融时间序列中拓扑复杂性与网络密度的增加。
• 该方法在捕捉相关网络结构变化方面表现出鲁棒性，即使在噪声条件下亦然。
• 持久性图与持久性景观等拓扑不变量在检测动力系统中临界转变方面优于传统方法。
• 该方法成功利用延迟嵌入的持久同调识别了基因表达与动作捕捉数据中的周期性行为与结构突变。