[论文解读] A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons

Tri Lai, Ranjan Rohatgi|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文建立了三角格点上双重凹陷六边形的菱形密铺的洗牌定理，证明了仅通过重新排列被移除的上指和下指单位三角形的位置，密铺计数仅会因依赖于这些被移除三角形相对间距的乘法因子而改变。关键结果同时推广了 MacMahon 的六边形密铺乘积公式以及 Cohn-Larsen-Propp 对凹陷半六边形的计数结果，通过统一的密铺比公式揭示了对称函数与 q-级数之间的深刻联系。

ABSTRACT

MacMahon's theorem on plane partitions yields a simple product formula for tiling number of a hexagon, and Cohn, Larsen and Propp's theorem provides an explicit enumeration for tilings of a dented semihexagon via semi-strict Gelfand--Tsetlin patterns. In this paper, we prove a natural hybrid of the two theorems for hexagons with an arbitrary set of unit triangles removed along a horizontal axis. In particular, we show that the `shuffling' of removed unit triangles only changes the tiling number of the region by a simple multiplicative factor. Our main result generalizes a number of known enumerations and asymptotic enumerations of tilings. We also reveal connections of the main result to the study of symmetric functions and $q$-series.

研究动机与目标

• 将 MacMahon 的六边形菱形密铺乘积公式推广至沿水平轴任意移除单位三角形集合的区域。
• 将 Cohn-Larsen-Propp 关于凹陷半六边形与半严格 Gelfand-Tsetlin 图形之间对应关系的结果，扩展至具有多个凹陷的对称六边形。
• 通过证明重新排列被移除三角形位置仅以乘法方式影响密铺计数，建立一个统一的区域密铺计数框架，适用于含‘孔洞’的区域。
• 通过推导出的乘法因子公式，揭示密铺计数、对称函数与 q-级数之间的联系。

提出的方法

• 定义一个边长为 $x+n-u, y+u, y+d, x+n-d, y+d, y+u$ 的对称六边形，其在中心水平格线上移除了 $u+d$ 个单位三角形。
• 将被移除的三角形划分为 $u$ 个上指三角形和 $d$ 个下指三角形，分别由格线上的位置集合 $U$ 和 $D$ 索引。
• 证明两个仅在 $U$ 和 $D$ 位置被重新排列的区域之间的密铺数之比由位置差的乘积给出：$\frac{\operatorname{M}(H_{x,y}(U;D))}{\operatorname{M}(H_{x,y}(U';D'))} = \prod_{1\leq i<j\leq u}\frac{s_j - s_i}{s'_j - s'_i} \cdot \prod_{1\leq i<j\leq d}\frac{t_j - t_i}{t'_j - t'_i}$。
• 利用图形凝聚法与对偶图技术推导密铺比，借助完美匹配与平面分拆的已知结果。
• 通过将密铺比表示为在 $\mathbf{1}^n$ 处求值的 Schur 函数，建立与对称函数的联系，并通过 $q$-类比将结果推广至 $q$-级数。
• 通过应用特定的洗牌构型，证明主定理可恢复已知结果，包括 $F$-核心六边形、双重凹陷六边形以及移除三个蕨形区域的六边形的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当保持每种类型三角形的总数和相对顺序不变时，若重新排列被移除的上指与下指单位三角形的位置，双重凹陷六边形的密铺计数将如何变化？
• RQ2 能否为这类区域的密铺比推导出一个统一的乘法公式，从而同时推广 MacMahon 的乘积公式与 Cohn-Larsen-Propp 对凹陷半六边形的计数结果？
• RQ3 密铺比与对称函数之间存在何种联系，特别是与在 $\mathbf{1}^n$ 处求值的 Schur 函数之间的关系？
• RQ4 密铺比公式的 $q$-类比如何与代数组合学中已知的 $q$-级数恒等式相关联？
• RQ5 洗牌定理能否用于推导出具有复杂孔洞构型区域的新的渐近密铺计数结果？

主要发现

• 两个仅在被移除上指与下指三角形位置被重新排列的双重凹陷六边形之间的密铺比，由其位置集合差值的乘积给出，如定理 2.1 所述。
• 洗牌定理推广了已知结果：通过特定的洗牌构型，可恢复 $F$-核心六边形（Ciucu, 2003）、双重凹陷六边形（Ciucu, 2003）以及移除三个蕨形区域的六边形（Lai, 2019）的计数。
• 密铺比可表示为在 $\mathbf{1}^n$ 处求值的 Schur 函数乘积之比，从而将密铺计数与对称函数理论联系起来。
• 洗牌定理的 $q$-类比暗示了一个涉及 Schur 函数的更深层次恒等式，其中 $\prod_{1\leq i<j\leq u}\frac{1-q^{s_j-s_i}}{1-q^{j-i}}$ 与 $s_{\lambda(U)}(q,q^2,\dots)$ 成比例（至多相差一个 $q$ 的幂次），表明可能存在一个潜在的 $q$-恒等式。
• 该定理表明，一个含有 $u$ 个上指和 $d$ 个下指被移除三角形的区域的密铺数仅依赖于其位置的相对间距，而非绝对顺序，仅相差一个乘法因子。
• 该结果为通过洗牌将复杂孔洞构型的区域简化为更简单的等价区域，提供了一种新的渐近密铺计数方法。