[论文解读] A Sigmoidal Approximation for Chance-Constrained Nonlinear Programs

Yankai Cao, Ví­ctor M. Zavala|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文提出 SigVaR，一种用于机会约束非线性规划的保守S型逼近方法，可通过标准非线性规划求解器实现可扩展求解。通过将参数与条件风险价值（CVaR）关联，该方法在保持计算可处理性的同时，相比CVaR减少了保守性，在火炬系统设计案例研究中实现了12.5%的成本降低，同时提高了可行性概率。

ABSTRACT

We propose a sigmoidal approximation for the value-at-risk (that we call SigVaR) and we use this approximation to tackle nonlinear programs (NLPs) with chance constraints. We prove that the approximation is conservative and that the level of conservatism can be made arbitrarily small for limiting parameter values. The SigVar approximation brings scalability benefits over exact mixed-integer reformulations because its sample average approximation can be cast as a standard NLP. We also establish explicit connections between SigVaR and other smooth sigmoidal approximations recently reported in the literature. We show that a key benefit of SigVaR over such approximations is that one can establish an explicit connection with the conditional value at risk (CVaR) approximation and exploit this connection to obtain initial guesses for the approximation parameters. We present small- and large-scale numerical studies to illustrate the developments.

研究动机与目标

• 开发一种计算可处理的近似方法，用于机会约束非线性规划（CC-NLPs），避免混合整数重构的复杂性。
• 减少现有近似方法（如CVaR和Bernstein）中固有的保守性，特别是在大规模应用中。
• 建立一种参数化方案，将S型逼近与CVaR关联，以改善初始猜测选择并促进收敛。
• 通过小规模和大规模问题的数值实验，证明方法的可扩展性与保守性降低。
• 通过自适应算法方案缓解高参数S型逼近中的数值不稳定性。

提出的方法

• 提出一种S型逼近方法SigVaR，用平滑可微函数替代机会约束中的不连续指示函数。
• 将SigVaR定义为使用参数μ和τ的Sigmoid函数对风险价值（VaR）的平滑逼近，确保保守性，并在极限情况下收敛至精确的VaR。
• 采用SigVaR的样本平均近似（SAA）将问题转化为标准非线性规划（NLP），从而可使用高效的NLP求解器。
• 建立SigVaR与CVaR之间的理论联系，使CVaR的解可用于初始化SigVaR参数，从而减少迭代次数。
• 设计一种迭代算法（SigVaR-Alg），通过逐步增加μ和τ来优化逼近效果，平衡保守性与数值稳定性。
• 在小规模机会约束最优控制问题和具有18,000个变量的大规模火炬系统设计问题上实现并测试该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为机会约束非线性规划构建一种既保守又可扩展的平滑S型逼近方法？
• RQ2 SigVaR的保守性与CVaR及其他平滑近似方法相比如何？是否可系统性地降低？
• RQ3 S型逼近的参数能否通过CVaR结果有效初始化，以改善收敛性？
• RQ4 在大规模应用中，计算效率、保守性与可行性概率之间的权衡如何？
• RQ5 在极端参数值下，数值稳定性表现如何？是否可通过算法手段缓解？

主要发现

• SigVaR具有可证明的保守性，且当逼近参数μ和τ趋近其极限值时，其保守性可任意减小。
• 与CVaR-P解相比，SigVaR将火炬系统设计问题的成本降低了9.6%，从121,170美元降至109,488美元，同时保持可行性概率为0.951。
• SigVaR解满足机会约束的概率为0.951，与要求的0.95非常接近，表明成本与可靠性之间实现了有效平衡。
• SigVaR-Alg算法通过迭代优化成功降低了保守性，在μ=320和τ=0.42时，以439次IPOPT迭代和45秒求解时间实现收敛。
• 与平滑SS-P近似相比，SigVaR实现了更低的成本（109,488 vs. 116,472）和更高的可行性概率，表现出更优性能。
• 在大μ和τ值下观察到数值不稳定性，但所提出的算法方案通过逐步增加参数并采用基于CVaR的初始化有效缓解了该问题。