[论文解读] A Simple and Effective High-Order Shock-Capturing Limiter for Discontinuous Galerkin Methods

Scott Moe, James A. Rossmanith+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文提出了一种简单、高阶的间断伽辽金（DG）方法激波捕获限制器，结合了Barth-Jespersen与Zhang-Shu最大原则保持（MPP）框架的思想。通过利用邻近单元数据局部限制解变量，并最小化高阶校正的阻尼，该方法在光滑区域有效抑制了激波附近的振荡，同时保持了高阶精度，如在结构化与非结构化网格上的1D和2D基准测试所示。

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) finite element method when applied to hyperbolic conservation laws requires the use of shock-capturing limiters in order to suppress unphysical oscillations near large solution gradients. In this work we develop a novel shock-capturing limiter that combines key ideas from the limiter of Barth and Jespersen [AIAA-89-0366 (1989)] and the maximum principle preserving (MPP) framework of Zhang and Shu [Proc. R. Soc. A, 467 (2011), pp. 2752--2776]. The limiting strategy is based on traversing the mesh element-by-element in order to (1) find local upper and lower bounds on user-defined variables by sampling these variables on neighboring elements, and (2) to then enforce these local bounds by minimally damping the high-order corrections. The main advantages of this limiting strategy is that it is simple to implement, effective at shock capturing, and retains high-order accuracy of the solution in smooth regimes. The resulting numerical scheme is applied to several standard numerical tests in both one and two-dimensions and on both Cartesian and unstructured grids. These tests are used as benchmarks to verify and assess the accuracy and robustness of the method.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的、高阶的DG方法激波捕获限制器，避免在间断附近出现非物理解释的振荡。
• 在保持激波附近最小耗散的同时，保留光滑区域的高阶精度。
• 通过将检测嵌入限制过程中，消除对显式激波检测步骤的需求。
• 确保方法实现简单，并在结构化与非结构化网格上均有效。
• 将MPP框架的应用范围从正性保持扩展至强激波的处理。

提出的方法

• 该限制器以单元为单位运行，利用邻近单元的点值，对用户定义的变量局部计算上下界。
• 使用光滑性指标评估解的质量，并仅当梯度超过由参数α（与h^1.5成正比）定义的阈值时触发限制。
• 通过最小化高阶多项式校正的阻尼来强制执行局部边界，从而保持单元平均值并维持高阶精度。
• 在具有复杂流动特征（如熵层）的区域，限制器切换为使用守恒变量的单元平均值而非原始变量进行边界估计。
• 在敏感区域（如前向台阶上方）采用改进的限制器参数α = 20h^1.5，以减少虚假熵层。
• 该方法采用SSPRK4时间积分与LLF数值通量，使用P3单元在结构化与非结构化网格上实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种简单、高阶的DG限制器，在避免显式激波检测的同时，保持光滑区域的精度？
• RQ2 Barth-Jespersen与MPP原理的结合在抑制激波附近振荡方面有多有效，且不降低精度阶？
• RQ3 该限制器能否在不显著修改的情况下，稳健地应用于结构化与非结构化网格？
• RQ4 该限制器在捕捉复杂激波结构（如带有熵层的前向台阶问题）中的表现如何？
• RQ5 在高梯度区域使用守恒变量而非原始变量进行边界估计，其影响是什么？

主要发现

• 该方法在1D与2D欧拉方程中成功抑制了激波附近的非物理解释振荡，包括具有挑战性的前向台阶问题。
• 在前向台阶问题中，该限制器有效减轻了虚假熵层，尤其在台阶上部区域采用细化的限制器参数α = 20h^1.5时效果更显著。
• 结构化网格模拟中出现了明显的熵层，但结果仍处于先前研究中观察到的典型范围内，表明该限制器尽管存在此伪影，仍具有鲁棒性。
• 非结构化网格的结果与结构化网格结果高度一致，证实了该方法在非结构化网格上的有效性。
• 限制器在光滑区域保持了高阶精度，表现为对接触间断的锐利分辨以及光滑区域的平滑轮廓。
• 该方法无需额外的激波检测步骤，因为限制决策已内嵌于局部边界估计过程中。