[论文解读] A simple and efficient BEM implementation of quasistatic linear visco-elasticity

Christos G. Panagiotopoulos, V. Mantič+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Elasticity and Material Modeling参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文提出了一种简单、稳定且高效的边界元法（BEM）公式，用于拟静态线性黏弹性问题，采用隐式时间离散化（Rothe方法）和代数变量变换。该方法仅需使用Kelvin弹塑性静力基本解，避免了逆拉普拉斯变换，并可通过极少的代码修改支持多种本构模型，包括Kelvin-Voigt、Maxwell、Boltzmann、Jeffreys和Burgers模型。

ABSTRACT

A simple, yet efficient procedure to solve quasistatic problems of special linear visco-elastic solids at small strains with equal rheological response in all tensorial components, utilizing boundary element method (BEM), is introduced. This procedure is based on the implicit discretisation in time (the so-called Rothe method) combined with a simple "algebraic" transformation of variables, leading to a numerically stable procedure (proved explicitly by discrete energy estimates), which can be easily implemented in a BEM code to solve initial-boundary value visco-elastic problems by using the Kelvin elastostatic fundamental solution only. It is worth mentioning that no inverse Laplace transform is required here. The formulation is straightforward for both 2D and 3D problems involving unilateral frictionless contact. Although the focus is to the simplest Kelvin-Voigt rheology, a generalization to Maxwell, Boltzmann, Jeffreys, and Burgers rheologies is proposed, discussed, and implemented in the BEM code too. A few 2D and 3D initial-boundary value problems, one of them with unilateral frictionless contact, are solved numerically.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效且数值稳定的BEM公式，用于求解拟静态线性黏弹性问题。
• 消除在基于BEM的黏弹性分析中对时间相关基本解或逆拉普拉斯变换的需求。
• 通过简单的代数变量变换，实现现有弹塑性静力BEM代码的直接集成与实现。
• 将该公式扩展至涉及黏弹性体的单面无摩擦接触问题。
• 将该方法推广至多种标准黏弹性本构模型，包括Maxwell、Jeffreys和Burgers模型。

提出的方法

• 对控制黏弹性偏微分方程应用Rothe方法（隐式欧拉时间离散化），将时间依赖问题转化为一系列拟静态问题序列。
• 在每个时间步引入代数变量变换，将黏弹性问题转化为线性弹塑性静力边界值问题。
• 利用标准Kelvin弹塑性基本解求解所得弹塑性静力问题，避免域积分和复杂的时间相关核函数。
• 通过显式代数恢复方法，在每个时间步从辅助场解中重构实际的位移、应力和应变。
• 采用配点BEM进行边界离散化，确保无需域变量，从而提升计算效率。
• 通过将能量约束和接触条件引入边界积分表达式，将公式扩展至单面接触问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖逆拉普拉斯变换或时间相关基本解的前提下，开发出一种稳定且高效的拟静态线性黏弹性BEM公式？
• RQ2 如何通过时间离散化与变量变换，仅利用弹塑性基本解高效求解Kelvin-Voigt黏弹性模型？
• RQ3 所提出的公式在多大程度上可推广至其他标准黏弹性模型，如Maxwell、Boltzmann、Jeffreys和Burgers本构模型？
• RQ4 单面无摩擦接触的引入如何影响BEM公式的数值行为与稳定性？
• RQ5 该方法能否在现有弹塑性静力BEM代码中以极少的代码修改实现，同时保持精度与稳定性？

主要发现

• 通过离散能量估计实现数值稳定性，确保长时间模拟下的鲁棒性。
• 该公式成功求解了涉及Kelvin-Voigt、Maxwell、Boltzmann、Jeffreys和Burgers本构模型的二维与三维初值-边值问题，且仅使用Kelvin弹塑性静力基本解。
• 结合隐式欧拉时间离散化与变量变换，实现了无需域积分或复杂变换的递归高效求解过程。
• 黏弹性接触问题的数值结果表明，增加黏性系数会减小接触区长度与最大法向牵引力，且在载荷移除时黏性力呈现有限峰值。
• 弹性合力随黏性系数增加而减小，黏性力分量在载荷移除时刻出现跳跃与峰值，表明存在能量耗散与延迟恢复现象。
• 通过引入变换后的辅助场，该方法可轻松集成至现有BEM代码中，实现黏弹性分析仅需极少代码修改。