[论文解读] A simple anisotropic three-dimensional quantum spin liquid with fracton topological order

Olga Petrova, Nicolas Regnault|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Theoretical and Computational Physics被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在立方晶格上具有各向异性耦合的简单三维量子自旋模型，实现了由局域点激发（任何任何子）和复合移动激发（在1D或2D子空间中移动）表征的任何子拓扑序。该模型在三Torus上表现出子扩展的基态 degeneracy $2^{2L_z}$，且仅在$ widehat{x}$和$ widehat{y}$方向的边界上出现零能表面模式，与层状拓扑码构造不同。

ABSTRACT

We present a three-dimensional cubic lattice spin model, anisotropic in the $\hat{z}$ direction, that exhibits fracton topological order. The latter is a novel type of topological order characterized by the presence of immobile pointlike excitations, named fractons, residing at the corners of an operator with two-dimensional support. As other recent fracton models, ours exhibits a subextensive ground state degeneracy: On an $L_x imes L_y imes L_z$ three-torus, it has a $2^{2L_z}$ topological degeneracy, and an additional non-topological degeneracy equal to $2^{L_xL_y-2}$. The fractons can be combined into composite excitations that move either in a straight line along the $\hat{z}$ direction, or freely in the $xy$ plane at a given height $z$. While our model draws inspiration from the toric code, we demonstrate that it cannot be adiabatically connected to a layered toric code construction. Additionally, we investigate the effects of imposing open boundary conditions on our system. We find zero energy modes on the surfaces perpendicular to either the $\hat{x}$ or $\hat{y}$ directions, and their absence on the surfaces normal to $\hat{z}$. This result can be explained using the properties of the two kinds of composite two-fracton mobile excitations.

研究动机与目标

• 构建一个简单的三维量子自旋模型，实现具有局域点激发的任何子拓扑序。
• 研究在具有各向异性耦合的三维晶格中，基态简并性如何随系统尺寸和边界条件变化。
• 理解表面零能模式的本质及其与由任何子组成的复合移动激发的关系。
• 证明该模型无法与层状拓扑码进行绝热连接，尽管其灵感来自二维拓扑码。
• 探讨边界条件在改变模型能谱和简并结构中的作用。

提出的方法

• 通过在立方晶格中沿$ widehat{z}$方向各向异性耦合相邻$xy$-平面的二维拓扑码哈密顿量来构建该模型。
• 哈密顿量包含立方体算符$ widehat{Q}_c$，定义为相邻$xy$-平面中邻近的面算符的乘积，强制在基态中$ widehat{Q}_c = +1$。
• 通过违反$ widehat{Q}_c = +1$约束来产生激发，导致在二维算符角点处形成局域的任何子。
• 通过配对任何子形成复合激发，这些激发可沿$ widehat{z}$方向移动，或在固定$z$的$xy$平面内自由移动。
• 基态简并性由独立约束和自旋自由度的数量推导得出，从而区分拓扑与非拓扑贡献。
• 在不同方向应用开放边界条件，以分析其对简并性和表面模式的影响，使用弦算符创建局域零能激发。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个简单的3D自旋模型，实现任何子拓扑序，且不与层状拓扑码绝热相连？
• RQ2 在开放边界条件下，零能表面模式的本质和起源是什么？
• RQ3 在3D任何子系统中，基态简并性如何随系统尺寸和边界条件变化？
• RQ4 复合激发在决定任意子准粒子的移动性和局域性方面起什么作用？
• RQ5 该模型中的子扩展拓扑简并性如何产生，其对$L_z$方向的依赖关系如何？

主要发现

• 在$L_x \times L_y \times L_z$的三Torus上，该模型表现出$2^{2L_z}$的拓扑基态简并性，源于$ widehat{z}$方向的约束。
• 额外的非拓扑简并性$2^{L_x L_y - 2}$来自$xy$-平面自由度，与$L_z$无关。
• 当在$ widehat{z}$方向应用开放边界条件时，拓扑简并性仍为$2^{2L_z}$，但立方体约束数量减少至$L_x L_y (L_z - 1)$。
• 仅在垂直于$ widehat{x}$和$ widehat{y}$方向的边界上出现零能表面模式，当$ widehat{x}$方向为开放边界时，其简并度为$2^{L_y L_z}$，这是由于作用于表面的局域弦算符所致。
• 在垂直于$ widehat{z}$方向的边界上不会出现此类表面模式，因为$ widehat{Q}_c = -1$缺陷无法在不违反体约束的情况下局部创建。
• 该模型无法与层状拓扑码进行绝热连接，因为任何子激发及其复合移动模式与层状构造中的情况根本不同。