[论文解读] A simple computational approach to the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model via the Laplace-Adomian Decomposition Method

Tiberiu Harko, M. K. Mak|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出一种拉普拉斯-阿多米安分解法（Laplace-Adomian Decomposition Method, LADM），以获得SIR流行病模型的简单且高度精确的级数解，实现高效的参数拟合并支持流行病学分析。该方法生成以指数级数表示的半解析解，仅使用三项即能与数值结果高度吻合，为数据对比和模型拟合提供一种计算效率更高的替代方案，优于精确的参数解。

ABSTRACT

The Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model is extensively used for the study of the spread of infectious diseases. Even that the exact solution of the model can be obtained in an exact parametric form, in order to perform the comparison with the epidemiological data a simple but highly accurate representation of the time evolution of the SIR compartments would be very useful. In the present paper we obtain a series representation of the solution of the SIR model by using the Laplace-Adomian Decomposition Method to solve the basic evolution equation of the model. The solutions are expressed in the form of infinite series. The series representations of the time evolution of the SIR compartments are compared with the exact numerical solutions of the model. We find that there is a good agreement between the Laplace-Adomian semianalytical solutions containing only three terms, and the numerical results.

研究动机与目标

• 开发SIR模型随时间演化的简单而精确的解析表达式，以便更方便地与真实流行病学数据进行比较。
• 通过提供基于级数的半解析替代方案，克服精确参数解带来的计算负担。
• 通过使用可处理的函数形式，实现对传播率（$\beta$）和恢复率（$\gamma$）的高效估计，借助数据拟合方法。
• 证明仅包含三项的截断级数解可在多种参数范围内准确捕捉SIR模型的动力学行为。

提出的方法

• 将拉普拉斯-阿多米安分解法（LADM）应用于SIR模型中恢复者群体$z(t)$所遵循的基本非线性常微分方程。
• 将解表示为无穷级数$z(t) = \sum_{i=0}^{\infty} z_i(t)$，其中各项通过阿多米安多项式递归计算。
• 利用拉普拉斯变换将非线性微分方程线性化，从而实现级数中每一项的递归求解。
• 将所得级数解截断至前三项，以获得$ x(t) $、$ y(t) $ 和 $ z(t) $ 的实用半解析近似解。
• 该方法生成以指数函数表示的解，便于直接与实证数据进行拟合。
• 通过将截断的三项级数解与多种参数设置下的精确数值解进行比较，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过LADM导出的截断级数解是否能以极低的计算成本准确表示SIR模型各 compartment 的时间演化？
• RQ2 在不同$\beta$与$\gamma$取值下，三项LADM级数近似解与SIR模型的精确数值解相比，其匹配程度如何？
• RQ3 该半解析级数解在多大程度上可简化$\beta$与$\gamma$在真实世界流行病数据中的拟合过程？
• RQ4 基于LADM的级数解是否能保持SIR模型的定性动力学特征，包括感染峰值与恢复趋势？

主要发现

• 三项截断的拉普拉斯-阿多米安级数解对SIR模型动力学提供了高度精确的近似，与所有测试参数集下的精确数值解高度一致。
• 即使仅使用三项，该方法仍与数值结果保持良好一致，表明其在实际应用中具有出色的收敛性与可靠性。
• 半解析解以指数函数之和的形式表达，简化了与实证流行病学数据的直接拟合过程。
• 该解在$\beta$与$\gamma$的多种取值下均保持高精度，包括高传播率或快速恢复率的情况。
• 两项近似解也表现出合理的拟合效果，表明该方法在增加极少计算量的情况下即可显著提升精度。
• 该方法为精确参数解提供了一种计算效率更高的替代方案，后者需在每一步都进行时间积分的数值求解。