[论文解读] A simple Havel-Hakimi type algorithm to realize graphical degree sequences of directed graphs

Péter L. Erdős, István Miklós+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2009

Digital Image Processing Techniques参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文提出了一种有向Havel–Hakimi型算法，用于判断给定的双度序列（出度和入度）是否可实现为简单有向图。该方法将贪心型Havel–Hakimi方法扩展至有向图，并证明了一个关键定理，可实现对禁止出邻点集的高效检查，从而支持MCMC采样和所有实现的穷举生成。

ABSTRACT

One of the simplest ways to decide whether a given finite sequence of positive integers can arise as the degree sequence of a simple graph is the greedy algorithm of Havel and Hakimi. This note extends their approach to directed graphs. It also studies cases of some simple forbidden edge-sets. Finally, it proves a result which is useful to design an MCMC algorithm to find random realizations of prescribed directed degree sequences.

研究动机与目标

• 将Havel–Hakimi算法从无向图扩展至有向图，以识别图形化的双度序列。
• 解决具有指定出度和入度的有向图的存在性问题，包括对禁止出邻点的约束。
• 为马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法提供理论基础，以采样具有固定度序列的随机有向图。
• 通过利用对禁止邻居集合的贪心检查，实现对给定双度序列的所有可能实现的高效生成。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过迭代地将出度最高的顶点连接到入度最高的顶点，逐步减少其出度，同时保持度序列的有效性。
• 引入F-正规顺序的概念，将禁止出邻点分组置于顶点列表的末尾，以促进系统的化简。
• 通过根据指定的出邻点集A从顶点v_n移除边，定义A-约化的双度序列，从而保留来自禁止集合F的约束。
• 对F[d⁺ₙ]-约化序列应用修改后的Havel–Hakimi过程，以测试其图形性，确保与禁止邻居约束的一致性。
• 隐式使用引理6，以证明若A-约化序列是图形的，则F[d⁺ₙ]-约化序列也是图形的，从而支持贪心决策过程。
• 基于顶点排序和度约束，采用递归化简策略，以验证在禁止邻居限制下实现存在的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种贪心型Havel–Hakimi算法，以判断有向双度序列的可实现性？
• RQ2 如何系统性地将禁止出邻点纳入实现过程中，而无需穷举所有可能？
• RQ3 在何种条件下，部分出邻点分配不会阻止有效实现的存在？
• RQ4 该算法如何适应支持具有固定度序列的随机有向图的MCMC采样？
• RQ5 在禁止邻居约束下，A-约化序列与F[d⁺ₙ]-约化序列的图形性之间存在何种关系？

主要发现

• 本文建立了一种有向Havel–Hakimi算法，可高效判断给定双度序列是否可实现为简单有向图。
• 证明了若A-约化双度序列是图形的，则F[d⁺ₙ]-约化序列也是图形的，从而支持对禁止出邻点集的贪心检查。
• 该算法可作为MCMC方法的子程序，用于采样具有指定度序列的随机有向图。
• 该方法无法生成双度序列的所有实现，如图1所示的反例所示，但提供了在约束下存在性的必要条件。
• F-正规顺序与A-约化框架使得对部分出邻点集的系统探索成为可能，从而提高了实现搜索的效率。
• 该方法将无向Havel–Hakimi方法推广至有向图，并为解决有向图中的约束f-因子问题提供了理论基础。