[论文解读] A simple linear space algorithm for computing a longest common increasing subsequence

Daxin Zhu, Lei Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了一种简单、线性空间的算法，用于计算两个序列的最长公共递增子序列（LCIS），采用一种新颖的递归公式。该算法在仅使用 min{n,m}+1 空间的前提下，实现了 O(nm) 的时间复杂度，显著简化了先前的方法，同时保持了最优的时间效率。

ABSTRACT

This paper reformulates the problem of finding a longest common increasing subsequence of the two given input sequences in a very succinct way. An extremely simple linear space algorithm based on the new formula can find a longest common increasing subsequence of sizes $n$ and $m$ respectively, in time $O(nm)$ using additional $\min\{n,m\}+1$ space.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算两个序列的最长公共递增子序列（LCIS）的空间高效算法。
• 通过一种新的递归公式重新表述 LCIS 问题，以简化动态规划的计算。
• 将空间复杂度从 O(nm) 降低至 O(min{n,m}+1)，同时不牺牲时间效率。
• 提供一种实用且可实现的线性空间算法，相较于先前的分治方法更为简单。
• 在额外 O(m) 时间内实现对实际 LCIS 序列的高效重构。

提出的方法

• 提出一种新的递归公式用于 f(i,j)，即在处理 X 的第 i 个元素时，以 Y 中第 j 个位置结尾的 LCIS 的长度。
• 使用匹配函数 δ(i,j) 检测 x_i = y_j 的情况，触发更新 f(i,j) = 1 + max_{t ∈ β(i,j)} f(i-1,t)。
• 采用大小为 m+1 的滚动数组 L 来仅存储当前行和前一行的值，将空间复杂度降低至 min{n,m}+1。
• 维护一个运行最大值 θ（存储在 L[0] 中），以高效追踪用于扩展递增子序列的最佳先前值。
• 通过使用递归扫描函数 Next(j,v,len) 进行回溯，实现对实际 LCIS 的重构，该函数以逆序追踪序列。
• 将重构阶段集成到主算法中，仅增加 O(m) 的额外时间开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用比现有分治方法更简单的动态规划公式，在线性空间内求解 LCIS 问题？
• RQ2 是否可能在将空间使用减少至 O(min{n,m}+1) 的同时，仍保持 O(nm) 的时间复杂度？
• RQ3 能否设计一种空间高效的算法，同时支持对实际 LCIS 序列的高效重构？
• RQ4 与先前方法相比，LCIS 的新颖递归公式是否能实现更直观且更易实现的算法？
• RQ5 是否可以在不增加时间复杂度或使实现复杂化的情况下实现空间缩减？

主要发现

• 所提出的算法以 O(nm) 时间复杂度仅使用 min{n,m}+1 的空间计算 LCIS，实现了最优的空间效率。
• 该算法相较于基于 Hirschberg 分治方法的先前线性空间方法更为简单。
• 通过反向扫描过程，可在额外 O(m) 时间内重构实际的 LCIS 序列。
• 新的递归公式支持清晰且高效的实现，避免了复杂的递归或状态追踪。
• 空间使用被最小化至 O(min{n,m}+1)，这对该问题而言是渐近最优的。
• 该算法在大幅减少内存占用的同时，保持了与标准动态规划解法相同的时间复杂度。