[论文解读] A Simple Polynomial Time Algorithm for Max Cut on Laminar Geometric Intersection Graphs

Celina M.H. de Figueiredo, Alexsander A. de Melo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文首次为区间图上最大割问题（MaxCut）在区间计数为4时提供了NP完全性证明，采用从3-正则无桥图精炼化约化的方法。研究证明，即使在区间图的区间计数受限时，MaxCut 仍为NP完全，从而解决了图论与计算复杂性领域长期悬而未决的开放问题，并缩小了普通区间图与单位区间图之间的时间复杂度差距。

ABSTRACT

In a geometric intersection graph, given a collection of n geometric objects as input, each object corresponds to a vertex and there is an edge between two vertices if and only if the corresponding objects intersect. In this work, we present a somewhat surprising result: a polynomial time algorithm for max cut on laminar geometric intersection graphs. In a laminar geometric intersection graph, if two objects intersect, then one of them will completely lie inside the other. To the best of our knowledge, for max cut this is the first class of (non-trivial) geometric intersection graphs with an exact solution in polynomial time. Our algorithm uses a simple greedy strategy. However, proving its correctness requires non-trivial ideas. Next, we design almost-linear time algorithms (in terms of n) for laminar axis-aligned boxes by combining the properties of laminar objects with vertical ray shooting data structures. Note that the edge-set of the graph is not explicitly given as input; only the n geometric objects are given as input.

研究动机与目标

• 通过分类区间计数有界的区间图上的最大割问题，填补普通区间图与单位区间图之间的时间复杂度差距。
• 解决自1980年代以来长期未解的区间图上最大割问题在区间计数为4时的复杂性问题。
• 通过证明一个比单位区间图（区间计数为1）更广的类别的最大割问题为NP完全，改进了此前对单位区间图上最大割问题存在多项式时间算法的错误声称。
• 在约化中提供更紧的区间计数边界，将构造模型中不同区间长度的数量从5减少到4。
• 为区间计数有界的区间图的识别问题做出贡献，该问题此前进展有限。

提出的方法

• 将原始最大割问题在3-正则图上的NP完全性约化方法适配为生成具有可控区间计数的区间模型。
• 利用佩特森定理将3-正则无桥图分解为一个完美匹配M和一个2-正则子图H（即不相交环的并）。
• 定义顶点的特定顺序πV和边的特定顺序πE，以控制最终生成的区间模型M的结构。
• 通过移除某些连接区间构造模型M′，并证明剩余区间最多可分配三种不同的长度。
• 证明完整模型M的区间计数至多为4n/3 + 3，且若图非哈密顿，则其区间计数至少为5，从而得出非哈密顿情形下下界为4。
• 通过在模型中强制实现规范结构，证明不同顶点与边的顺序下区间计数保持不变，最终构造中实现ic(M) = 4。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大割问题在区间计数为4的区间图上是否为NP完全？
• RQ2 最大割约化中的区间计数能否被限制为常数？若是，其最小值是多少？
• RQ3 尽管在单位区间图上最大割问题为易解问题，但在区间计数为4的区间图上，最大割问题的NP完全性是否仍然成立？
• RQ4 能否通过证明区间计数为4时最大割问题为NP完全，从而排除单位区间图上存在多项式时间算法的可能性？
• RQ5 最大割问题保持NP完全性的最小区间计数是多少？这与区间模型的结构有何关联？

主要发现

• 当限制在区间计数为4的区间图时，最大割问题为NP完全，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 所构造区间模型的区间计数上界为4n/3 + 3，且所有此类模型均满足ic(M) = 4。
• 证明表明，若输入图非哈密顿，则模型的区间计数至少为5，但经精炼构造后，该下界被降低至4。
• 该约化对顶点与边的不同顺序具有鲁棒性，确保区间计数保持恒定为4。
• 该结果意味着4-嵌套区间图（比单位区间图更广的类）上的最大割问题也为NP完全。
• 本构造改进了先前工作，将约化中不同区间长度的数量从5减少至4，从而在约化中实现了更紧的区间计数边界。