[论文解读] A simple polynomial time algorithm to approximate the permanent within a simply exponential factor

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Apr 9, 1997

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种简单的随机化多项式时间算法，通过使用改进的Godsil-Gutman估计器，将n×n非负矩阵的永久值近似到2^{O(n)}因子范围内。该方法利用正定矩阵的混合判别式，实现了高效近似。

ABSTRACT

We present a simple randomized polynomial time algorithm to approximate the mixed discriminant of $n$ positive semidefinite $n imes n$ matrices within a factor $2^{O(n)}$. Consequently, the algorithm allows us to approximate in randomized polynomial time the permanent of a given $n imes n$ non-negative matrix within a factor $2^{O(n)}$. When applied to approximating the permanent, the algorithm turns out to be a simple modification of the well-known Godsil-Gutman estimator.

研究动机与目标

• 开发一种用于近似非负矩阵永久值的多项式时间算法。
• 实现仅关于n的指数级近似因子，而非双重指数级。
• 将该方法扩展到正定矩阵的混合判别式。
• 提供一种简单且高效的方法，以改进永久值近似先前的复杂度界。
• 证明Godsil-Gutman估计器可被增强，以实现具有有界误差的可证明准确的多项式时间近似。

提出的方法

• 该算法基于n个正定n×n矩阵的混合判别式，采用随机化方法。
• 应用改进版本的Godsil-Gutman估计器，该估计器以启发式方式用于永久值估计而闻名。
• 该方法依赖于对随机矩阵的采样和期望计算，以估计混合判别式。
• 近似因子源自浓度不等式和正定矩阵的性质。
• 该算法在n的多项式时间内运行，误差被限制在2^{O(n)}因子内。
• 从永久值到混合判别式的约化，使得能够利用对称正定矩阵的已知结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内以仅关于n的指数级因子近似非负矩阵的永久值？
• RQ2 是否存在一种简单且高效的方法，以改进永久值近似先前的指数因子界？
• RQ3 Godsil-Gutman估计器能否被形式化证明并增强，以实现具有有界误差的多项式时间近似？
• RQ4 正定矩阵的混合判别式与非负矩阵的永久值之间有何关系？
• RQ5 使用多项式时间算法，永久值的最紧可实现近似因子是什么？

主要发现

• 该算法将n×n非负矩阵的永久值近似到2^{O(n)}因子范围内。
• 该近似在随机化多项式时间内实现，使其在实际和理论应用中均高效。
• 该方法基于对Godsil-Gutman估计器的改进，已证明其具有有界误差。
• 使用相同算法，n个正定n×n矩阵的混合判别式也被近似到2^{O(n)}因子范围内。
• 该方法建立了混合判别式与永久值之间的直接且高效的联系，从而实现了近似。
• 该结果优于先前的算法，后者需要双重指数级因子或缺乏正式的多项式时间保证。