[论文解读] A simple proof of the discrete time geometric Pontryagin maximum principle.

P K Mishal Assif, Debasish Chatterjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文针对有限维光滑流形上的最优控制问题，提出了离散时间庞特里亚金最大值原理的几何证明，同时考虑了状态、控制和频谱约束。该研究将 [Cha11] 中连续时间的几何方法扩展至离散时间，通过流形上的微分几何技术建立了必要最优性条件。

ABSTRACT

We establish a geometric Pontryagin maximum principle for discrete time optimal control problems on finite dimensional smooth manifolds under the following three types of constraints: a) constraints on the states pointwise in time, b) constraints on the control actions pointwise in time, c) constraints on the frequency spectrum of the optimal control trajectories. Our proof follows, in spirit, the path to establish geometric versions of the Pontryagin maximum principle on smooth manifolds indicated in [Cha11] in the context of continuous-time optimal control.

研究动机与目标

• 将几何庞特里亚金最大值原理扩展至有限维光滑流形上的离散时间最优控制问题。
• 整合三类约束：逐点状态约束、逐点控制约束，以及控制轨迹的频谱约束。
• 为离散时间设置下的必要最优性条件提供严谨的几何框架，与连续时间结果保持一致。
• 通过将现有离散时间最大值原理嵌入流形上的微分几何结构中，实现其推广。

提出的方法

• 将连续时间最优控制中的几何方法（如 [Cha11] 所述）适配至光滑流形上的离散时间系统。
• 利用流形切丛上的变分法与一阶最优性条件，推导必要条件。
• 通过嵌入子流形和切空间框架中的拉格朗日乘子施加约束。
• 通过在离散序列上使用傅里叶分析对控制轨迹进行频域建模，应用频谱约束。
• 通过余切丛上的哈密顿形式化推导最大值原理，确保与几何控制理论的一致性。
• 将最优性条件确立为在每个时间步对允许控制最大化离散哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几何庞特里亚金最大值原理扩展至光滑流形上的离散时间最优控制问题？
• RQ2 状态与控制约束在离散时间下对必要最优性条件的形成起到何种作用？
• RQ3 如何在离散时间最大值原理中正式整合控制轨迹的频谱约束？
• RQ4 离散时间几何最大值原理在结构与推导上，与连续时间对应版本的相似程度如何？

主要发现

• 在有限维光滑流形上的系统中，建立了完整的几何离散时间庞特里亚金最大值原理。
• 通过微分几​​何工具（包括切丛与余切丛）推导出必要最优性条件。
• 通过嵌入子流形约束，将逐点状态与控制约束整合进该原理。
• 通过约束控制轨迹的离散傅里叶变换，正式将频谱约束纳入其中。
• 所得最优性条件在每个时间步均最大化离散哈密顿量，与几何控制理论保持一致。
• 证明保持了连续时间几何方法的结构完整性，并适配至离散动力学。