[论文解读] A Simple Proof of the Existence of a Planar Separator

Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文使用圆盘打包定理，给出了平面分离定理的一个简单、自包含的证明，表明具有 $ n $ 个顶点的平面图存在一个大小为 $ O(ar{\sqrt{n}}) $ 的分离器，可将图划分为每个部分最多包含 $ 9n/10 $ 个顶点的连通分量。该方法利用圆盘打包中随机环的交点来推导期望分离器大小的界，并进一步推广至三角剖分图中的环分离器以及 $ k $-ply 球图和 $ k $-最近邻图中的分离器。

ABSTRACT

We provide a simple proof of the existence of a planar separator by showing that it is an easy consequence of the circle packing theorem. We also reprove other results on separators, including: (A) There is a simple cycle separator if the planar graph is triangulated. Furthermore, if each face has at most $d$ edges on its boundary, then there is a cycle separator of size O(sqrt{d n}). (B) For a set of n balls in R^d, that are k-ply, there is a separator, in the intersection graph of the balls, of size O(k^{1/d}n^{1-1/d}). (C) The k nearest neighbor graph of a set of n points in R^d contains a separator of size O(k^{1/d} n^{1-1/d}). The new proofs are (arguably) significantly simpler than previous proofs.

研究动机与目标

• 使用圆盘打包定理，提供平面分离定理的简洁、自包含的证明。
• 简化现有对平面分离器的证明，特别是针对三角剖分图和几何交集图的证明。
• 利用几何概率方法，建立三角剖分平面图和几何图中环分离器的界。
• 探讨在有界铺砌度（ply）条件下，有限算法构造圆盘打包的可行性，作为开放问题。

提出的方法

• 使用科贝定理（圆盘打包定理）将平面图表示为内部不相交圆盘的相切图。
• 选取包含 $ n/10 $ 个圆盘中心的最小圆盘，将其归一化为半径 1 并以原点为中心。
• 随机选择一个半径 $ x \in [1,2] $，定义一个半径为 $ x $ 的圆 $ C_x $；与 $ C_x $ 相交的圆盘集合 $ S $ 构成分离器。
• 通过面积和概率论证，对 $ S $ 的期望大小进行界定，将圆盘按半径大小分为大半径和小半径两类。
• 使用几何覆盖论证（例如，用 9 个半径为 1 的圆覆盖一个半径为 2 的圆）来界定移除分离器后连通分量的大小。
• 利用倍增维数和覆盖引理，将该方法推广至 $ k $-ply 球图和 $ k $-最近邻图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用圆盘打包定理更简洁地证明平面分离定理？
• RQ2 三角剖分平面图中环分离器的最优可能大小界是什么？
• RQ3 相同的几何概率方法能否推广至 $ k $-ply 几何交集图？
• RQ4 是否存在一种有限算法，可构造出铺砌度有界的平面图的圆盘表示（即平面上任意点不被过多圆盘覆盖）？

主要发现

• 存在一个大小为 $ 11\sqrt{n} $ 的分离器，可将任意平面图划分为每个部分最多包含 $ 9n/10 $ 个顶点的连通分量。
• 对于最大面度为 $ d $ 的三角剖分平面图，存在一个大小为 $ O(\sqrt{dn}) $ 的环分离器。
• 在 $ \mathbb{R}^d $ 中的 $ n $ 个球构成的 $ k $-ply 集合中，其交集图存在大小为 $ O(k^{1/d} n^{1-1/d}) $ 的分离器。
• $ \mathbb{R}^d $ 中的 $ k $-最近邻图也存在大小为 $ O(k^{1/d} n^{1-1/d}) $ 的分离器。
• 通过在圆盘半径上应用面积和概率论证，由随机环交点形成的分离器 $ S $ 的期望大小被界定为 $ 11\sqrt{n} $。
• 该证明比以往构造更简洁，尽管常数并非最优，但其核心结构洞察依赖于圆盘打包定理。