[论文解读] A simple proof that AND-compression of NP-complete problems is hard

Holger Dell|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种简化证明，表明在标准复杂性假设下，对NP完全问题（如SAT）进行AND-压缩是困难的：除非coNP ⊆ NP/poly，否则不存在高效的AND-压缩。该证明利用广义超图锦标赛和基于Kullback–Leibler散度的噪声敏感性界，表明压缩映射无法在不破坏复杂性理论层级结构的前提下，同时保持多个实例的可满足性。

ABSTRACT

Drucker [1] proved the following result: Unless the unlikely complexity-theoretic collapse coNP ⊆ NP/poly occurs, there is no AND-compression for SAT. The result has implications for the compressibility and kernelizability of a whole range of NP-complete parameterized problems. We present a simple proof of this result. An AND-compression is a deterministic polynomial-time algorithm that maps a set of SAT-instances x1,..., xt to a single SAT-instance y of size poly(maxi |xi|) such that y is satisfiable if and only if all xi are satisfiable. The “AND ” in the name stems from the fact that the predicate “y is satisfiable ” can be written as the AND of all predicates “xi is satisfiable”. Drucker’s result complements the result by Bodlaender et al. [2] and Fortnow and Santhanam [3], who proved the analogous statement for OR-compressions, and Drucker’s proof not only subsumes that result but also extends it to randomized compression algorithms that are allowed to have a certain probability of failure. The overall structure of our proof is similar to the arguments of Ko [4] for P-selective sets, which use the fact that tournaments have dominating sets of logarith-mic size. We generalize this fact to hypergraph tournaments. For the information-theoretic part of the proof, we consider a natural generalization of the average noise sensitivity of a Boolean function, which is bounded for compressive maps. We prove this with mechanical calculations that involve the Kullback–Leibler divergence. 1

研究动机与目标

• 为Drucker关于在标准复杂性假设下SAT的AND-压缩不可行性的结果提供一种更简单、更易理解的证明。
• 将该不可行性结果扩展到可能以有界概率出错的随机化压缩算法。
• 将锦标赛的结构结果推广到超图锦标赛，以支持证明框架。
• 利用广义噪声敏感性度量，建立对压缩映射的信息论界。
• 证明此类可压缩性将导致多项式层次的坍塌，具体而言即coNP ⊆ NP/poly。

提出的方法

• 通过将Ko关于P-选择集的方法推广，将锦标赛推广为超图锦标赛，以建模多个实例之间的决策一致性。
• 为布尔函数引入一种广义噪声敏感性度量，以捕捉压缩映射在随机扰动下的平均行为。
• 使用Kullback–Leibler散度来界定将多个SAT实例压缩为一个时的信息论成本。
• 应用极值组合数学，证明任何压缩映射都必须在所有输入上保持可满足性，这与已知的复杂性界矛盾。
• 通过涉及概率分布和散度度量的机械计算，形式化不可压缩性的论证。
• 结合结构图论工具与信息论不等式，在AND-压缩假设下推导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准复杂性假设下，能否高效实现SAT的AND-压缩？
• RQ2 随机性在AND-压缩中起什么作用？有界误差的随机化算法能否实现可压缩性？
• RQ3 广义噪声敏感性度量与NP完全问题的可压缩性有何关系？
• RQ4 超图锦标赛在多实例可满足性一致性建模中能发挥多大作用？
• RQ5 如果AND-压缩可行，将导致何种复杂性理论坍塌？

主要发现

• 除非coNP ⊆ NP/poly，否则SAT的AND-压缩在确定性多项式时间内不可能实现。
• 该结果可扩展至以有界概率失败的随机化压缩算法，仍保持不可行性。
• 布尔函数的广义噪声敏感性度量在压缩映射上受到限制，从而支持信息论分析。
• 使用超图锦标赛使证明能够将标准锦标赛的结构结果推广到更高阶的一致性条件。
• 通过Kullback–Leibler散度推导出压缩映射中信息损失的紧致界，从而在可压缩性假设下导出矛盾。
• 该证明表明，任何AND-压缩都将导致多项式层次的坍塌，具体为coNP ⊆ NP/poly，而这一结论被认为极不可能成立。