[论文解读] A simpler sublinear algorithm for approximating the triangle count

C. Seshadhri|arXiv (Cornell University)|May 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文提出了一种更简单的亚线性算法，用于在使用度数、邻居和边查询的情况下，近似计算无向图中的三角形数量。该算法在期望时间 $O(\text{poly}(\varepsilon^{-1}\log n)(n/t^{1/3} + m^{3/2}/t))$ 内实现 $(1+\varepsilon)$-近似，其运行时间复杂度与 Eden、Levi 和 Ron（2015）的最新成果一致，但算法结构和分析过程显著简化。

ABSTRACT

A recent result of Eden, Levi, and Ron (ECCC 2015) provides a sublinear time algorithm to estimate the number of triangles in a graph. Given an undirected graph $G$, one can query the degree of a vertex, the existence of an edge between vertices, and the $i$th neighbor of a vertex. Suppose the graph has $n$ vertices, $m$ edges, and $t$ triangles. In this model, Eden et al provided a $O(\poly(\eps^{-1}\log n)(n/t^{1/3} + m^{3/2}/t))$ time algorithm to get a $(1+\eps)$-multiplicative approximation for $t$, the triangle count. This paper provides a simpler algorithm with the same running time (up to differences in the $\poly(\eps^{-1}\log n)$ factor) that has a substantially simpler analysis.

研究动机与目标

• 简化 Eden、Levi 和 Ron（2015）提出的亚线性三角形计数算法，该算法此前依赖复杂的顶点分桶和集中度界限分析。
• 在保持相同渐近时间复杂度的同时，降低算法和分析的复杂度。
• 通过利用 Chiba-Nishizeki 三角形计数框架中的采样技术，提供一种更直观、更易理解的亚线性三角形计数方法。
• 通过简化的采样与估计策略，在高概率下保持 $(1+\varepsilon)$-乘法近似保证。
• 证明更简单的算法设计可以达到更复杂先前方法的性能水平，提升清晰度而不损失效率。

提出的方法

• 采用受 Chiba-Nishizeki 算法启发的采样方法，该算法通过枚举边并统计公共邻居来查找三角形。
• 对边进行均匀随机采样，并对每个采样边 $e = (u,v)$，从度数较低的端点 $u$ 的邻居中随机选择一个邻居 $w$，以检测 $\{u,v,w\}$ 是否构成三角形。
• 定义一个随机变量 $X$：若三顶点构成三角形，则 $X$ 取值 $d_u$，否则为 0；$X$ 的期望为 $3t/m$，从而可通过平均估计 $t$。
• 采用基于方差的采样：对三角形指示变量方差较高的边，增加采样次数以确保集中性。
• 首先使用几何搜索对 $m$ 的猜测值进行估计，利用一种新颖的平均度数估计器，并结合尾部概率界限论证。
• 结合多个独立估计并取最小值以提高置信度，采用最小值的中位数策略，确保高概率下的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更简单的算法，在查询模型下实现与 Eden、Levi 和 Ron（2015）相同的亚线性运行时间复杂度用于三角形计数？
• RQ2 是否可能在保持相同渐近性能的前提下，简化先前工作中复杂的顶点分桶和基于类型的集中度分析？
• RQ3 能否将基于 Chiba-Nishizeki 框架的采样估计器进行适配，以实现 $(1+\varepsilon)$-近似，同时显著降低分析复杂度？
• RQ4 如何通过更简单的尾部界限论证，实现亚线性平均度数估计，避免使用 Feige（2006）或 Goldreich-Ron（2008）的复杂工具？
• RQ5 实现亚线性时间下 $(1+\varepsilon)$-近似三角形计数所需的最少假设和算法组件是什么？

主要发现

• 所提算法以至少 $2/3$ 的概率实现对三角形数量 $t$ 的 $(1+\varepsilon)$-乘法近似。
• 期望运行时间为 $O(\text{poly}(\varepsilon^{-1}\log n)(n/t^{1/3} + m^{3/2}/t))$，与 Eden、Levi 和 Ron（2015）的最佳已知运行时间复杂度一致。
• 通过避免复杂的顶点分桶和类型分类，显著简化了分析过程，代之以对边和邻居的直接采样策略。
• 通过在顶点上定义全序并结合邻居采样，构建了一种新颖的平均度数估计器，支持对 $m$ 的几何搜索，查询复杂度为 $O(\varepsilon^{-3.5}\log(\varepsilon^{-1}\log n)n/\sqrt{m})$。
• 通过重复采样并取最小值的中位数，可将成功概率提升至 $1 - \delta$，总查询复杂度为 $O(\text{poly}(\varepsilon^{-1}\log n)\min(m, n/t^{1/3} + m^{3/2}/t))$。
• 该方法表明，一种简洁的采样方法可达到更复杂先前方法的性能，同时大幅降低分析复杂度。