[论文解读] A Single Scale Infinite Volume Expansion for Three-Dimensional Many Fermion Green's Functions

J. Le Magnen, Vincent Rivasseau|ArXiv.org|Sep 6, 1995

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于辅助尺度分解和Hadamard不等式的新方法，用于三维多费米子格林函数的单尺度无限体积展开。证明了围绕单一尺度的微扰展开具有与尺度无关的收敛半径，为三维非相对论性BCS超导性的严格非微扰构造提供了关键一步。

ABSTRACT

This paper is part of a program by Feldman, Trubowitz and ourselves to construct a mathematically rigorous version of the BCS mechanism for superconductivity. In previous papers the renormalization group around the Fermi surface was defined and analyzed at all orders in perturbation theory. Non-perturbative results (also called constructive results) correspond to the resummation of all graphs in perturbation theory and are harder to obtain. In a previous paper (Helv. Phys. Acta, 65, 679 (1992) we introduced a cluster expansion for many Fermion systems in two space dimensions based on a so-called sector or angular decomposition. However this method does not work in three space dimensions. In this paper a completely different expansion is introduced, based on an auxiliary scale decomposition and the use of the Hadamard inequality. We prove that the perturbative expansion for a single scale of the renormalization group has a convergence radius independent of the scale. This is a typical result which we cannot obtain in three dimensions by naive extrapolation of the sector method. Although we do not treat in this paper the full (multiscale) system, we hope this new method to be a significant step towards the rigorous construction of the BCS theory of superconductivity in three space dimensions.

研究动机与目标

• 发展三维空间中BCS超导机制的数学严格框架。
• 克服二维中成功的扇区（角）分解方法在三维中失效的问题。
• 建立三维费米子系统中单尺度重整化群展开的非微扰收敛结果。
• 为将该方法扩展至完整的多尺度重整化群框架奠定基础。
• 为三维多费米子格林函数的无限体积极限提供一种构造性方法。

提出的方法

• 提出一种基于辅助尺度分解的新簇展开，取代二维中使用的角分解。
• 利用Hadamard不等式控制动量空间中费米子格林函数的衰减。
• 分析单一尺度下的微扰展开，重点研究其与尺度参数无关的收敛性质。
• 采用构造性量子场论方法，控制单尺度设置下费曼图和的上界。
• 应用适用于无限体积和三维空间的重整化群技术。
• 在所有尺度上建立微扰级数收敛半径的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明三维多费米子格林函数的单尺度微扰展开在尺度参数上具有统一收敛性？
• RQ2 三维中扇区方法的失效是否意味着必须采用根本上全新的展开技术？
• RQ3 Hadamard不等式是否能有效控制三维中费米子关联函数的衰减？
• RQ4 是否可能在三维中构造出单尺度重整化群展开的尺度无关收敛半径？
• RQ5 与以往方法相比，该新展开方法在BCS超导性背景下的可行性与严谨性如何？

主要发现

• 单尺度重整化群展开的微扰展开具有与尺度无关的收敛半径，这是关键的非平凡结果。
• 该方法成功规避了三维中扇区分解的局限性，为获得非微扰结果开辟了新途径。
• 辅助尺度分解与Hadamard不等式的结合，为无限体积中费米子关联提供了充分控制。
• 收敛结果适用于完整的无限体积极限，而不仅限于有限系统。
• 该方法是实现三维空间中BCS超导理论严格构造的重要一步。
• 尽管尚未处理完整的多尺度系统，但单尺度收敛性已为未来扩展提供了坚实基础。