[论文解读] A Single Server Retrial Queue with Different Types of Server Interruptions

Tewfik Kernane|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文分析了一个单服务器重传队列，其中存在多种中断类型——破坏性中断、非破坏性中断和空闲中断——在经典重传策略下。通过生成函数和Laplace-Stieltjes变换推导了稳态联合分布，建立了系统稳定性的条件，并给出了极限概率和性能指标的显式表达式。

ABSTRACT

We consider a single server retrial queue with the server subject to interruptions and classical retrial policy for the access from the orbit to the server. We analyze the equilibrium distribution of the system and obtain the generating functions of the limiting distribution.

研究动机与目标

• 建立并分析一个单服务器重传队列模型，其中服务器面临多种中断类型，包括破坏性中断、非破坏性中断和空闲中断。
• 为一般服务时间与中断时间分布下的系统稳定性，建立必要且充分的条件。
• 利用生成函数和嵌入方程，推导服务器状态与轨道大小的联合稳态分布。
• 通过极限概率的显式表达式，计算系统负荷、队列长度和服务器利用率等性能度量。
• 通过引入具有不同恢复行为的独立中断类型，推广先前关于服务器故障的重传队列研究。

提出的方法

• 将系统建模为连续时间马尔可夫过程，状态变量跟踪服务器状态（空闲、忙碌、破坏性中断、非破坏性中断、空闲中断）和轨道大小。
• 使用微分-差分方程描述联合概率密度的时间演化，包含到达率、重传率和中断过程。
• 应用生成函数 $ P_F(z), P_B(x,z), P_D(x,z), P_N(x,y,z), P_I(x,z) $ 将方程组转化为可解形式。
• 引入辅助函数 $ h(z) $ 和 $ \chi(z) $ 以简化系统，并以闭式表达稳态分布。
• 通过归一化条件和涉及服务率与中断率的稳定性条件，推导出稳态概率 $ P_F(1) $。
• 采用Laplace-Stieltjes变换 $ \beta(s), \beta_d(s), \beta_n(s), \beta_i(s) $ 以保持一般服务与中断时间分布下的通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多种中断类型的单服务器重传队列的稳定性，其必要且充分条件是什么？
• RQ2 破坏性中断、非破坏性中断和空闲中断的引入，如何影响系统的稳态分布？
• RQ3 在一般服务时间与中断时间分布下，服务器状态与轨道大小的联合稳态分布的显式形式是什么？
• RQ4 极限分布的生成函数如何与队列长度和服务器利用率等系统性能指标相关联？
• RQ5 不同类型的中断（破坏性 vs. 非破坏性）对系统长期行为和稳定性有何影响？

主要发现

• 当且仅当有效到达率小于有效服务率时，系统稳定，稳定性条件涉及 $ \rho < 1 $，其中 $ \rho $ 由服务与中断参数导出。
• 稳态概率 $ P_F(1) $ 显式计算为服务率与中断率的函数，包括 $ \nu_d, \nu_n, \nu_i, \beta, \beta_d, \beta_n, \beta_i $ 及其一阶矩。
• 生成函数 $ P_F(z) $ 表达为 $ P_F(1) \exp\left\{ \int_1^z \Psi(u) du \right\} $，其中 $ \Psi(z) $ 捕获系统参数与嵌入动力学的依赖关系。
• 对于已流逝服务时间 $ x $ 的忙碌状态，联合密度 $ P_B(x,z) $ 表示为 $ P_B(0,z)(1-B(x))\exp(-h(z)x) $，显示其对嵌入速率函数 $ h(z) $ 的依赖。
• 系统分布对所有状态均给出显式表达式：$ P_D(x,z), P_N(x,y,z), P_I(x,z) $，每种均结合了相应的中断类型与记忆性重传行为。
• 轨道大小与服务器状态概率等性能度量可从生成函数与归一化条件推导，从而实现对系统行为的定量分析。