[论文解读] A single $T$-gate makes distribution learning hard

Marcel Hinsche, Marios Ioannou+7 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文证明，在局部量子线路中添加一个T门会使其实现的输出分布难以被学习，即使对于量子算法也是如此。它证明了任何统计查询算法都无法高效学习深度为 $n^{\Omega(1)}$ 的量子线路，且即使是超对数深度的Clifford线路，也难以被标准生成模型学习，从而限制了近期混合量子-经典算法在生成式AI中的实际优势。

ABSTRACT

The task of learning a probability distribution from samples is ubiquitous across the natural sciences. The output distributions of local quantum circuits form a particularly interesting class of distributions, of key importance both to quantum advantage proposals and a variety of quantum machine learning algorithms. In this work, we provide an extensive characterization of the learnability of the output distributions of local quantum circuits. Our first result yields insight into the relationship between the efficient learnability and the efficient simulatability of these distributions. Specifically, we prove that the density modelling problem associated with Clifford circuits can be efficiently solved, while for depth $d=n^{Ω(1)}$ circuits the injection of a single $T$-gate into the circuit renders this problem hard. This result shows that efficient simulatability does not imply efficient learnability. Our second set of results provides insight into the potential and limitations of quantum generative modelling algorithms. We first show that the generative modelling problem associated with depth $d=n^{Ω(1)}$ local quantum circuits is hard for any learning algorithm, classical or quantum. As a consequence, one cannot use a quantum algorithm to gain a practical advantage for this task. We then show that, for a wide variety of the most practically relevant learning algorithms -- including hybrid-quantum classical algorithms -- even the generative modelling problem associated with depth $d=ω(\log(n))$ Clifford circuits is hard. This result places limitations on the applicability of near-term hybrid quantum-classical generative modelling algorithms.

研究动机与目标

• 对局部量子线路输出分布的可学习性进行严格分析，尤其关注量子机器学习与量子优势的背景。
• 确定是否存在高效的经典或量子学习算法，能够有效建模具有不同深度和门类型的量子线路的输出分布。
• 解决关于混合量子-经典生成建模算法在真实量子线路架构中局限性的开放问题。
• 在标准学习模型下，包括统计查询与生成建模框架，建立学习量子线路分布的理论难解性结果。

提出的方法

• 作者使用统计查询（SQ）学习理论，分析学习量子线路输出分布所需的查询复杂度。
• 他们构造了一类基于奇偶性的 $n$ qubit 分布 $P_s$，这些分布可由Clifford线路实现，并证明其统计查询复杂度为 $\Omega(2^{n/3})$。
• 通过应用引理7中的变换，他们将深度为 $d$ 的Clifford线路的查询复杂度与更浅线路的复杂度关联起来，表明当 $d = \omega(\log n)$ 时，困难性依然存在。
• 他们通过证明在深度为 $n^{\Omega(1)}$ 的量子线路中仅注入一个 $T$-门，即可使该分布无法被任何仅使用统计查询的算法学习，从而将困难性结果推广至一般量子线路。
• 他们采用归约论证：若存在一个学习算法能高效学习该分布，则可将其用于解决一个困难学习问题（如学习奇偶函数），这与已知的复杂度界矛盾。
• 他们应用推论15与引理12，将困难性结果扩展至具有逆多项式容差的生成模型，表明即使 $d = \omega(\log^{c+1}(n))$ 深度的线路也难以学习。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度为 $n^{\Omega(1)}$ 的局部量子线路的输出分布能否被任何统计查询算法高效学习？
• RQ2 在量子线路中引入单个 $T$-门是否会使其实现的输出分布对任何算法（包括量子算法）都变得难以学习？
• RQ3 混合量子-经典生成模型是否能有效学习具有超对数深度的量子线路的输出分布？
• RQ4 量子线路的高效可模拟性是否意味着其输出分布的高效可学习性？
• RQ5 在标准学习模型下，输出分布变得在统计上不可学习的最小电路深度是多少？

主要发现

• 仅使用对未知分布的统计查询的任何算法，都无法高效学习深度为 $n^{\Omega(1)}$ 的 $n$-量子比特量子线路的输出分布。
• 对于 $d = \omega(\log n)$ 深度的Clifford线路，任何具有逆多项式容差的统计查询算法都难以学习，需要超多项式数量的查询。
• 在深度为 $n^{\Omega(1)}$ 的量子线路中仅注入一个 $T$-门，即可使其实现的输出分布无法被任何学习算法（经典或量子）学习。
• 当 $d = \Omega(n)$ 时，学习深度为 $d$ 的Clifford线路的统计查询复杂度为 $\Omega(2^{n/3}}$，确立了线性深度线路的指数级困难性。
• 对于任意 $\varepsilon, \delta < 1/2$，学习深度为 $d = \omega(\log^{c+1}(n))$ 的线路的输出分布，需要 $\omega(\text{poly}(n))$ 个统计查询，容差 $\tau \in \Omega(1/\text{poly}(n))$，证明了超多项式查询复杂度。
• 该结果表明，量子线路的高效可模拟性并不意味着其输出分布的高效可学习性，从而否定了量子机器学习中一个常见的假设。