[论文解读] A slow and careful Legendre transformation for singular Lagrangians

Włodzimierz M. Tulczyjew, Paweł Urbański|ArXiv.org|Sep 27, 1999

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文提出了一种几何上严格、分步进行的Legendre变换，用于奇异Lagrangian系统（即Hessian矩阵退化的情况），通过引入一种“缓慢而谨慎”的方法，解决了标准变换中固有的模糊性。该方法建立了内在构造，提供了坐标表征，并将该方法应用于物理系统，为退化系统中的约束哈密顿力学提供了一致的框架。

ABSTRACT

A comparative analysis of two different versions of the Legendre transformation is presented. We provide an almost complete although somewhat superficial review of the geometric background for analytical mechanics. Complete coordinate characterizations of all structures are provided. Intrinsic constructions of most of the objects are given. Examples of applications to a number of physical systems is given

研究动机与目标

• 解决在Hessian矩阵退化时，标准Legendre变换应用于奇异Lagrangian系统所存在的模糊性和不一致性。
• 发展一种几何上一致且内在的Legendre变换形式化，以保持相空间的辛结构。
• 提供参与变换的几何对象（包括Legendre映射及其像）的完整坐标表征。
• 将该方法应用于具体物理系统，以展示其在约束力学系统中的实用性。
• 提出一种系统化、分步进行的程序——“缓慢而谨慎”——以处理奇异Lagrangian中Hessian矩阵不可逆的问题。

提出的方法

• 使用喷丛和切丛与余切丛的几何框架，描述配置空间和相空间。
• 将Legendre变换定义为从切丛到余切丛的映射，仔细分析当Hessian矩阵退化时其定义域和像的性质。
• 根据Hessian矩阵的秩，将Legendre映射构造为浸入或满射，利用Lagrangian流形的内在几何。
• 通过Lagrangian的纤维导数定义动量变量，即使在映射不可逆时也确保一致性。
• 将该方法应用于具体例子，如相对论性粒子和具有约束的自由粒子，以说明该过程。
• 将Legendre映射的像表征为余切丛中的子流形，识别出由退化性引起的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Hessian矩阵退化时，一致地定义奇异Lagrangian的Legendre变换？
• RQ2 奇异情况下Legendre变换背后的几何结构是什么？如何对它们进行内在表征？
• RQ3 奇异系统中Legendre映射及其像的坐标表达式是什么？
• RQ4 ‘缓慢而谨慎’的方法如何解决标准Legendre变换中存在的模糊性？
• RQ5 该方法对约束力学系统中哈密顿动力学的构建有何影响？

主要发现

• 本文确立了即使在Hessian矩阵退化的情况下，奇异Lagrangian的Legendre变换也可严格定义为切丛与余切丛子流形之间的映射。
• 研究表明，Legendre映射的像是余切丛中的Lagrangian子流形，从而保持了哈密顿动力学所必需的辛结构。
• 该方法提供了Legendre映射及其定义域的完整坐标表征，使得在物理系统中可进行显式计算。
• 该方法成功处理了如相对论性粒子及其他约束系统，展示了其一致性和正确性。
• '缓慢而谨慎'的程序通过系统分析Hessian矩阵的秩及其诱导的约束，避免了朴素Legendre变换的陷阱。
• 所提出的内在构造允许进行无坐标形式化，从而增强了方法的几何清晰度和普遍性。