[论文解读] A Small Observation on Co-categories

Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明，在任意一致范畴中，所有内部共范畴必然是共等价关系，即其共复合与共逆结构由源映射和目标映射唯一确定。关键结果建立了此类范畴中共范畴与单射之间的范畴等价，尤其在拓扑与预拓扑中成立。

ABSTRACT

Various concerns suggest looking for internal co-categories in categories with strong logical structure. It turns out that in any coherent category, all co-categories are co-equivalence relations.

研究动机与目标

• 研究具有强逻辑结构的范畴中内部共范畴的结构，特别是统一范畴中的情况。
• 确定在这些设定中，共范畴是否能表现出超越等价关系的非平凡行为。
• 厘清代范畴、共偏序与共群胚在逻辑范畴中的关系。
• 在具有共核对的统一范畴中，建立共范畴与单射之间的范畴等价。
• 探讨使用具有区间对象的2-范畴结构建模直觉类型论的含义。

提出的方法

• 将内部共范畴定义为对偶范畴中的内部范畴，利用源映射、目标映射、共复合映射与共单位映射。
• 利用统一范畴的内部逻辑分析源映射与目标映射的联合覆盖性质。
• 应用统一范畴中像与并集对拉回的稳定性，证明共范畴为共偏序。
• 证明在共偏序中，共逆映射存在并满足群胚的对偶恒等式，使其成为共等价关系。
• 通过共核对构造从单射范畴到共等价关系的函子。
• 证明当范畴为共正合时，该函子是等价的，尤其在拓扑与预拓扑中成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一致范畴中，内部共范畴满足何种结构约束？
• RQ2 一致范畴中的共范畴是否可能不是共等价关系，抑或其结构必然是平凡的？
• RQ3 在具有共核对的统一范畴中，共范畴与单射之间存在何种关系？
• RQ4 在拓扑中，共范畴如何与内部逻辑及子对象分类器相关联？
• RQ5 在直觉类型论的2-范畴模型中，共范畴在建模区间对象时扮演何种角色？

主要发现

• 在任意一致范畴中，每个内部共范畴必然是共等价关系。
• 当源映射与目标映射联合为满射时，共范畴中的共复合映射由源映射与目标映射唯一确定。
• 在共偏序中，共逆映射存在并满足群胚的对偶恒等式，使其成为共等价关系。
• 对于具有单射共核对的一致范畴，共范畴范畴与单射范畴等价。
• 在任意拓扑中，共范畴范畴通过子对象分类器与子对象的余光滑范畴等价。
• 在拓扑中，普遍共范畴是终端映射到子对象分类器的共核对。