[论文解读] A smooth regularity theorem for nondegenerate CR-mappings

Bernhard Lamel|ArXiv.org|Dec 3, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了复空间中光滑非退化CR-映射在光滑拟齐次子流形之间的光滑正则性定理：若此类子流形之间的$C^{k_0}$-CR映射在某点处为$k_0$-非退化，且源流形在该点处极小，则该映射在该点邻域内光滑。该结果源于楔形区域内的全纯延拓，以及利用近全纯向量场和隐函数定理，将光滑性从边界传播至内部。

ABSTRACT

We prove the following regularity result: If M and M' are smooth generic submanifolds of C^N and C^N' respectively, where N and N' are not necessarily equal, and if M is minimal, then every C^k-CR-map from M into M^\prime which is k-nondegenerate is smooth. As an application, every CR diffeomorphism of k-nondegenerate minimal submanifolds in C^N of class C^k is smooth.

研究动机与目标

• 建立复空间$\mathbb{C}^N$与$\mathbb{C}^{N'}$中光滑拟齐次子流形之间CR-映射的$C^∞$-正则性定理。
• 证明$k_0$-非退化$C^{k_0}$-CR-映射从极小子流形出发时为光滑映射，推广了已知的全纯延拓结果。
• 提供文献[9]中主要结果的光滑版本，利用楔形延拓与近全纯向量场技术。
• 将已知的超曲面情形正则性结果（如Levi-非退化情形）推广至高余维及极小子流形情形。

提出的方法

• 通过定义函数的复梯度在迭代CR向量场作用下的张成空间来定义$k_0$-非退化性。
• 利用Tumanov定理，将极小子流形上连续CR函数延拓为以$M$为边的楔形区域内的全纯函数。
• 构造CR向量场及其系数在复域上的近全纯延拓。
• 应用隐函数定理，以映射的 jets 数据及其复共轭表示映射分量。
• 证明延拓后的映射满足加权$L^2$-型估计，从而通过$\mathfrak{A}$-函数理论推出光滑性。
• 证明映射在反射域上属于$\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{-})$，结合$\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{+})$，最终得出光滑性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拟齐次子流形之间的$C^{k_0}$-CR映射可光滑延拓？
• RQ2 $k_0$-非退化性与极小性是否足以保证高余维情形下CR-映射的光滑性？
• RQ3 CR-映射的楔形延拓与边界映射的正则性之间有何关系？
• RQ4 非退化性条件在将光滑性从边界传播至内部的过程中起何种作用？
• RQ5 $k_0$-非退化CR-微分同胚在极小子流形上是否必然光滑？

主要发现

• 任意$C^{k_0}$-CR映射$H: M \to M'$，若在$p_0$处$k_0$-非退化，且可连续延拓至以$M$为边的楔形区域，则其在$p_0$附近光滑。
• 若$M$在$p_0$处极小，则任意$C^{k_0}$-CR映射$H: M \to M'$，若在$p_0$处$k_0$-非退化，则在$p_0$的邻域内光滑。
• 该结果推广了超曲面情形下已知的$1$-非退化映射光滑性结果，包括Levi-非退化情形。
• 证明的关键在于构造一个涉及映射jet数据的方程组的解$\phi_j$，使得映射可延拓至反射域并证明其光滑性。
• 映射分量$h_j$属于$\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{+})$与$\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{-})$，结合联合正则性定理，推出光滑性。
• 关键技术步骤是证明隐函数$\phi_j$的导数为$O(|t|^\infty)$，从而强制映射的所有导数有界且光滑。