[论文解读] A solution to a problem of Cassels and Diophantine properties of cubic numbers

Uri Shapira|ArXiv.org|Oct 23, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过证明几乎所有实数对均满足齐次一致版本的Littlewood猜想，解决了Cassels长期提出的问题，并进一步表明生成全实三次数域的数对也满足此性质。关键结果表明，某些格的非齐次最小值为零，意味着其在对角作用下的轨道闭包是稠密的，该结果在丢番图逼近与齐性动力系统中有应用。

ABSTRACT

We prove that almost any pair of real numbers a,b, satisfies the following inhomogeneous uniform version of Littlewood's conjecture: (*) forall x,y in R, liminf_{|n| o\infty} |n| = 0, where denotes the distance from the nearest integer. The existence of even a single pair that satisfies (*), solves a problem of Cassels from the 50's. We then prove that if 1,a,b span a totally real number field, then a,b, satisfy (*). It is further shown that if 1,a,b, are linearly dependent over Q, a,b cannot satisfy (*). The results are then applied to give examples of irregular orbit closures of the diagonal groups of a new type.

研究动机与目标

• 解决Cassels关于在维度 $d \geq 3$ 时单模格谱的下确界是否为零的问题。
• 为几乎所有实数对 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 建立Littlewood猜想的统一非齐次版本，扩展已知结果。
• 刻画当 $1, \alpha, \beta$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性相关时，哪些数对不满足非齐次条件。
• 证明某些来自全实三次域的代数数对满足非齐次条件，推广了Cassels与Swinnerton-Dyer的结果。
• 利用高阶作用的刚性性质，构造对角群在齐性空间中新的非正规轨道闭包例子。

提出的方法

• 利用齐性空间上高阶交换群作用的刚性结果，分析格轨道的行为。
• 应用格 $x \in X_d$ 的非齐次最小值 $\mu(x)$ 作为衡量格在乘积范数 $N(w) = \prod w_i$ 下接近原点程度的指标。
• 将丢番图条件转化为关于 $n \in \mathbb{Z}$ 的 $|n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle$ 的下确界陈述，证明对几乎所有 $\alpha, \beta$ 该值为零。
• 利用投影 $\pi: Y_d \to X_d$ 将格的平移（即格的网格）与其基础格联系起来，分析乘积集 $P(y)$ 及其下确界 $N(y)$。
• 应用Davenport在二维情形中关于非齐次最小值下确界的结论，构造当 $\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$ 时的反例，表明 $\mu(x_v) > 0$。
• 利用 $\mu(x_0) \geq \mu(x)$ 对于 $x_0 \in \overline{Ax}$ 的事实，排除 $\mu(x) > 0$ 时的稠密轨道，并在 $X_3$ 中构造一个反例，以反驳关于轨道闭包的某个猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $d \geq 3$ 时，几乎所有 $X_d$ 中的格是否满足 $\mu(x) = 0$？
• RQ2 是否几乎所有 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 都满足非齐次统一版本的Littlewood猜想，即对所有 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 是否有 $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$？
• RQ3 若 $1, \alpha, \beta$ 构成全实三次数域的一组基，则 $\alpha, \beta$ 是否仍满足非齐次条件，即使 $\gamma, \delta \neq 0$？
• RQ4 在何种代数条件下 $\alpha, \beta$ 会使非齐次条件不成立，特别是当 $1, \alpha, \beta$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性相关时？
• RQ5 能否构造出 $X_3$ 中对角群的轨道闭包例子，使其违反如下猜想：即此类轨道闭包要么稠密，要么闭，要么包含于某个中间 $\mathbb{Q}$-定义子群的闭轨道中？

主要发现

• 当 $d \geq 3$ 时，几乎所有格 $x \in X_d$ 满足 $\mu(x) = 0$，从而正面解决了Cassels关于谱为零的问题。
• 对几乎所有 $v \in \mathbb{R}^{d-1}$，通过单峰矩阵定义的格 $x_v$ 和 $z_v$ 满足 $\mu(x_v) = \mu(z_v) = 0$，意味着非齐次条件成立。
• 若 $1, \alpha, \beta$ 构成全实三次数域的一组基，则 $\alpha, \beta$ 满足非齐次统一Littlewood条件：对所有 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$，有 $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$。
• 若 $\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$，则 $\mu(x_v) > 0$ 且 $\mu(z_v) > 0$，表明代数相关数对不满足该条件。
• 存在 $t \in \mathbb{R}$，使得格 $x_t \in X_3$ 违反了关于对角轨道闭包的猜想：即此类轨道闭包要么稠密，要么闭，要么包含于某个中间 $\mathbb{Q}$-定义子群的闭轨道中。
• 轨道 $Ax_t$ 既不稠密也不闭，并且不包含于任何中间 $\mathbb{Q}$-定义子群的闭轨道中，从而提供了新型非正规轨道闭包的例子。