[论文解读] A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem

Hong Liu, Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文解决了极值图论中的两个长期悬而未决的问题：证明了色数为 $k$ 的图中，其奇圈长度倒数之和至少为 $(1/2 - o_k(1))\log k$；并表明高平均度可迫使图中出现一个长区间内所有偶数长度的圈。其关键创新在于在高度连通的子图中构造具有可控长度的路径，从而通过奇偶性与路径长度的论证实现对圈长度的精确控制，最终获得渐近最优的界。

ABSTRACT

In 1981, Erdős and Hajnal asked whether the sum of the reciprocals of the odd cycle lengths in a graph with infinite chromatic number is necessarily infinite. Let $\mathcal{C}(G)$ be the set of cycle lengths in a graph $G$ and let $\mathcal{C}_ ext{odd}(G)$ be the set of odd numbers in $\mathcal{C}(G)$. We prove that, if $G$ has chromatic number $k$, then $\sum_{\ell\in \mathcal{C}_ ext{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$. This solves Erdős and Hajnal's odd cycle problem, and, furthermore, this bound is asymptotically optimal. In 1984, Erdős asked whether there is some $d$ such that each graph with chromatic number at least $d$ (or perhaps even only average degree at least $d$) has a cycle whose length is a power of 2. We show that an average degree condition is sufficient for this problem, solving it with methods that apply to a wide range of sequences in addition to the powers of 2. Finally, we use our methods to show that, for every $k$, there is some $d$ so that every graph with average degree at least $d$ has a subdivision of the complete graph $K_k$ in which each edge is subdivided the same number of times. This confirms a conjecture of Thomassen from 1984.

研究动机与目标

• 解决Erdős与Hajnal于1981年提出的关于无限色数图中奇圈长度倒数之和的猜想。
• 确定高平均度是否迫使图中出现长度为2的幂次的圈，此问题由Erdős于1984年提出。
• 证实Thomassen于1984年提出的猜想：高平均度意味着存在一个所有边被均匀细分的 $K_k$ 的细分图。
• 发展一种通用方法，用于在高平均度图中强制产生密集的偶圈长度集合。

提出的方法

• 通过组合高度连通子图中的路径，在高平均度图中构造出连续的偶圈长度长区间。
• 利用奇偶性论证，并通过子图并集中的最短路径实现对路径长度的控制，以生成奇圈。
• 应用迭代路径扩展技术，在保持奇偶性的同时改变圈长度，从而实现密集的圈长度集合。
• 利用子图的直径界和最短路径性质，控制所构造圈的长度。
• 引入一种将顶点集与路径在三个子图之间进行划分的方案，以确保圈长度的多样性。
• 通过递归路径构造与奇偶性约束，建立奇圈长度倒数之和的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的色数是否迫使其中奇圈长度倒数之和随 $k$ 对数增长？
• RQ2 是否存在有限的 $d$，使得每个平均度至少为 $d$ 的图都包含一个长度为2的幂次的圈？
• RQ3 高平均度能否保证存在一个所有边被相同次数细分的 $K_k$ 的细分图？
• RQ4 是否存在显式构造的、密度为零的整数序列，其在高平均度图中不可避免？
• RQ5 在高色数图中，其圈长度倒数之和能否被 $k$ 的某个函数从下方有界？

主要发现

• 色数为 $k$ 的图中，其奇圈长度倒数之和至少为 $(1/2 - o_k(1))\log k$，该结果渐近最优。
• 对于任意平均度为 $d$ 的图，存在一个区间 $[\log^8 \ell, \ell]$，其中所有偶数整数均为圈长度，且 $\ell \geq d/(10\log^{12}d)$。
• 任何平均度足够高的图都包含一个长区间内所有偶数长度的圈，解决了关于圈长度密度的长期悬而未决问题。
• 2的幂次在高平均度图中不可避免，证实了Erdős于1984年提出的猜想。
• 对每个 $k$，存在 $d$，使得每个平均度至少为 $d$ 的图都包含一个所有边被相同次数细分的 $K_k$ 的细分图，从而证实了Thomassen于1984年的猜想。
• 该方法可推广至其他序列，表明任何具有指数有界的递增偶数整数序列在高平均度图中均不可避免。