[论文解读] A solution to the L space problem and related ZFC constructions

Justin Tatch Moore|CERN Document Server (European Organization for Nuclear Research)|Jan 28, 2005

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 29

一句话总结

本文在 ZFC 中构造了一个非可分的遗传 Lindelöf 空间（L 空间），解决了长期存在的问题。通过一致序列的有限对一函数，证明了存在一个函数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $，具有强组合性质，并表明对于大小为 $ \aleph_1 $ 的不可数正则 Hausdorff 空间，不存在基，从而否定了集合论拓扑学中的主要猜想。

ABSTRACT

In this paper I will construct a non-separable hereditarily Lindelof space (L space) without any additional axiomatic assumptions. I will also show that there is a function f from [omega_1]^2 to omega_1 such that if A,B, subsets of omega_1, are uncountable and x omega_1, then there are a < b in A and B respectively with f(a,b) = x. Previously it was unknown whether such a function existed even if omega_1 was replaced by 2. Finally, I will prove that there is no basis for the uncountable regular Hausdorff spaces of cardinality aleph_1. Each of these results gives a strong refutation of a well known and longstanding conjecture. The results all stem from the analysis of oscillations of coherent sequences {e_i : i < omega_1} of finite-to-one functions. I expect that the methods presented will have other applications as well.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的猜想：在 ZFC 中，非可分的遗传 Lindelöf 空间（L 空间）不可能存在。
• 构造一个函数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $，使得对任意不可数的 $ A,B \subseteq \omega_1 $ 和 $ \xi < \omega_1 $，存在 $ \alpha < \beta $ 属于 $ A \times B $ 满足 $ f(\alpha,\beta) = \xi $，回答关于负性分割关系的问题。
• 证明对于大小为 $ \aleph_1 $ 的不可数正则 Hausdorff 空间类，不存在基，从而否定了拓扑学中一个著名的猜想。

提出的方法

• 分析一致序列 $ \langle e_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle $ 的振荡，这些序列由有限对一函数构成，以构造 L 空间。
• 利用 Tukey 序和树的性质，证明某些导出树为 Aronszajn 树，从而推导出不存在不可数分支或不可数反链。
• 应用力迫论证和 c.c.c. 不可破坏性，表明拓扑空间 $ \tau[X] $ 的不可数子空间不可能是第一可数的。
• 在 $ \tau[X]^2 $ 中构造闭开邻域，以隔离不可数离散子空间，证明该空间不是第一可数的。
• 利用遗传 Lindelöf 性质，证明 $ \tau[X] $ 上的连续实值函数的像必为可数集。
• 利用存在大小为 $ \aleph_2 $ 的几乎不相交族，证明基的大小至少为 $ \aleph_2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ZFC 中是否存在一个非可分的遗传 Lindelöf 空间，从而解决 L 空间问题？
• RQ2 能否构造一个函数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $，使得对任意不可数的 $ A,B \subseteq \omega_1 $ 和 $ \xi < \omega_1 $，存在 $ \alpha < \beta $ 属于 $ A \times B $ 满足 $ f(\alpha,\beta) = \xi $？
• RQ3 对于大小为 $ \aleph_1 $ 的不可数正则 Hausdorff 空间类，是否存在基？若存在，其最小基数是多少？
• RQ4 拓扑空间 $ \tau[X] $（其中 $ X \subseteq \omega_1 $）能否用于构造具有强拓扑性质（如非第一可数性和不可数离散子空间）的空间？
• RQ5 在 ZFC 构造背景下，一致序列的有限对一函数与 Aronszajn 树的存在性之间有何关系？

主要发现

• 在 ZFC 中构造出一个非可分的遗传 Lindelöf 空间（L 空间），无需额外公理即可解决 L 空间问题。
• 构造出一个函数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $，使得对任意不可数的 $ A,B \subseteq \omega_1 $ 和 $ \xi < \omega_1 $，存在 $ \alpha < \beta $ 属于 $ A \times B $ 满足 $ f(\alpha,\beta) = \xi $，证明即使将 $ \omega_1 $ 替换为 2，此类函数也存在。
• 对于 $ X \subseteq \omega_1 $，拓扑空间 $ \tau[X] $ 在 $ \tau[X]^2 $ 中不包含不可数离散子空间，但对于合适的 $ X $，$ \tau[X]^2 $ 中存在不可数离散子空间，表明其具有强组合结构。
• 任何 $ \tau[X] $ 的不可数子空间都不是第一可数的，且 $ \tau[X] $ 上的连续实值函数的像为可数集，表明存在强拓扑约束。
• 对于大小为 $ \aleph_1 $ 的不可数正则 Hausdorff 空间类，不存在基，且任何此类基的基数至少为 $ \aleph_2 $，从而否定了一个长期存在的猜想。
• L 空间的构造及函数 $ f $ 的构建依赖于有限对一函数的一致序列及其振荡性质，其中导出树 $ T(o) $ 为 Aronszajn 树，这是证明的关键。