[论文解读] A solution to the market making problem

Olivier Guéant, Charles‐Albert Lehalle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Financial Markets and Investment Strategies参考文献 19被引用 2

一句话总结

本文通过在库存约束下将做市问题形式化为随机控制问题，将哈密顿-雅可比-贝尔曼方程转化为线性常微分方程组。主要贡献是针对价格风险和库存风险提出最优买卖报价的闭式近似解，渐近分析揭示了长期报价行为特征。

ABSTRACT

Market makers continuously set bid and ask quotes for the stocks they have under consideration. Hence they face a complex optimization prob- lem in which their return, based on the bid-ask spread they quote and the fre- quency at which they indeed provide liquidity, is challenged by the price risk they bear due to their inventory. In this paper, we consider a stochastic con- trol problem similar to the one introduced by Ho and Stoll (17) and formalized mathematically by Avellaneda and Stoikov (3). The market is modeled using a reference price St following a Brownian motion with standard deviation σ, arrival rates of buy or sell liquidity-consuming orders depend on the distance to the reference price St and a market maker maximizes the expected utility of its P&L over a finite time horizon. We show that the Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to the stochastic optimal control problem can be trans- formed into a system of linear ordinary differential equations and we solve the market making problem under inventory constraints. We also shed light on the asymptotic behavior of the optimal quotes and propose closed-form approxi-

研究动机与目标

• 解决做市商在平衡买卖价差利润与库存风险之间所面临的复杂优化挑战。
• 在有限时间范围内，对具有随机价格变动的做市商动态决策进行建模。
• 将库存约束纳入最优报价策略中，反映现实世界的风险管理需求。
• 通过渐近分析推导最优报价的闭式近似解。
• 为做市中的随机最优控制问题提供数学上可处理的解决方案。

提出的方法

• 将做市问题形式化为随机最优控制问题，使用几何布朗运动建模参考价格，其波动率为σ。
• 将流动性订单到达建模为泊松过程，其强度取决于报价与参考价格之间的距离。
• 推导控制做市商最优策略的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。
• 通过数学重构，将非线性HJB方程转化为线性常微分方程组。
• 在库存约束下求解该方程组，以确定最优买入和卖出报价。
• 进行渐近分析，研究最优报价在长期行为下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在库存约束下将做市问题形式化为随机控制问题？
• RQ2 在此形式化下，最优买入和卖出报价的解析结构是什么？
• RQ3 随着到期时间的延长，最优报价在长期中如何表现？
• RQ4 能否将HJB方程转化为可解的线性ODE方程组？
• RQ5 在渐近条件下，能否为最优报价推导出闭式近似解？

主要发现

• 做市问题的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程被转化为线性常微分方程组，从而实现了分析上的可处理性。
• 在库存约束下推导出最优买入和卖出报价，反映了价差利润与价格风险暴露之间的平衡。
• 该解提供了最优报价的闭式近似解，便于实际应用。
• 渐近分析表明，随着时间范围的延长，最优报价趋于稳定的价差结构。
• 该模型捕捉了库存水平、价格变动与订单流之间的动态相互作用，提供了一个稳健的风险感知报价框架。