[论文解读] A space-time covariance function for spatio-temporal random processes and spatio-temporal prediction (kriging)

T. Subba Rao, György Terdik|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于空间数据离散傅里叶变换（DFTs）的新型时空协方差函数，适用于平稳时空过程，通过频域方法实现高效的克里金预测。通过将DFTs建模为由复随机偏微分方程（CSPDE）控制的复值过程，该方法避免了时间离散化，并利用频域变差图实现快速、稳健的参数估计，其计算速度和对非高斯性的鲁棒性优于经典似然法与变差图法。

ABSTRACT

We consider a stationary spatio-temporal random process and assume that we have a sample. By defining a sequence of discrete Fourier transforms at canonical frequencies at each location, and using these complex valued random varables as observed sample, we obtain expressions for the spatio-temporal covariance functions and the spectral density functions of the spatio-temporal random processes. These spectra correspond to non separable class of random processes. The spatio-temporal covariance functions, obtained here are functions of the spatial distance and the temporal frequency and are similar to Matern class. These are in terms of modified Bessel functions of the second kind. and the parameters are in terms of the second order spectral density functions of the random proces and the spatial distances. We consider the estimation of the parameters of the covariance function and also briefly mention their asymptotic properties. The estimation of the entire data at a known location, and also the estimation of a value given the above sample is also considered. The predictors are obtained using the vectors of Discrete Fourier Transforms. We also describe a statistical test for testing the independence of the m spatial time series (testing for spatial independence) using the Finite Fourier Transforms and it is based on the likelihood ratio test of complex valued random variables The methods are illustrated with real data. Keywords: Discrete Fourier Transforms, Covariance functions, Spectral density functions, Space-Time Processses, Prediction(kriging) Laplacian operators, Frequency Variogram, Tests for independence, Whittle likelihood.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效且稳健的时空预测（克里金）方法，用于具有空间与时间依赖性的平稳随机过程。
• 通过使用频域技术建模时空协方差结构，解决在未观测位置缺失数据的估计挑战。
• 通过引入基于DFTs的频域变差图方法，避免基于似然法的计算负担以及变差图法对非高斯性的敏感性。
• 推导一种非可分的、正定的时空协方差函数，推广现有模型（如[11]、[12]和[20]中的模型）。
• 在无需求逆大规模协方差矩阵的前提下，实现高效参数估计，利用快速傅里叶变换（FFT）算法。

提出的方法

• 将多个空间位置的时空时间序列数据转换为傅里叶频率处的离散傅里叶变换（DFTs），将DFTs视为复值观测数据。
• 将DFTs建模为仅在空间坐标上受拉普拉斯型复随机偏微分方程（CSPDE）控制的复值平稳过程。
• 通过傅里叶变换推导过程的谱表示，得到依赖于空间距离与时间频率的协方差函数，从而形成一类非可分的过程。
• 采用频域变差图方法进行参数估计，避免矩阵求逆，且对非高斯性具有鲁棒性。
• 利用费耶尔核（Fejér kernel）对DFTs进行渐近近似，使谱表示收敛至包含波数空间积分的形式。
• 基于估计的谱密度与协方差函数，在未观测位置执行预测，预测区间由克里金框架推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于DFTs的频域方法能否为时空克里金提供一种计算高效的替代方案，相较于经典似然法与变差图法？
• RQ2 如何在空间中利用复随机偏微分方程（CSPDE）对时空数据的DFTs进行建模，以获得有效且非可分的时空协方差函数？
• RQ3 所提出的频域变差图估计方法是否能在不求逆大规模协方差矩阵的前提下，提供稳健且准确的参数估计？
• RQ4 该模型在多大程度上推广了现有时空协方差函数（如[11]、[12]和[20]中的模型）？
• RQ5 该方法能否有效处理真实世界时空数据集中的缺失数据问题，例如存在大段缺失的空气质量测量数据？

主要发现

• 推导出的时空协方差函数是非可分的，依赖于空间滞后与时间频率，相较于可分模型提供了更高的灵活性。
• 通过利用快速傅里叶变换（FFT）算法，该方法实现了计算效率的显著提升，相比经典似然法与基于变差图的方法，计算时间大幅减少。
• 频域变差图估计方法对高斯性偏离具有鲁棒性，且无需求逆高维协方差矩阵。
• 该模型将[11]、[12]与[20]中的时空过程作为特例包含在内，展示了其通用性与统一潜力。
• 在纽约市PM2.5浓度的真实数据应用中，该方法成功估计了第11号位置的缺失值，并给出了准确的预测区间，表现出强劲的实证性能。
• 利用费耶尔核对DFTs进行渐近近似，确保谱表示收敛至包含波数空间积分的形式，从而实现理论一致性。