[论文解读] A space-time hybridizable discontinuous Galerkin method for linear free-surface waves

Giselle Sosa Jones, Jeonghun J. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的时空混合间断伽辽金（HDG）方法，用于使用柱形时空网格模拟线性自由表面水波。通过采用带加权内积的混合弱形式，该方法确保了适定性，并可直接计算流体速度。先验误差分析明确量化了空间和时间的收敛性，数值实验结果验证了最优收敛率，包括波浪发生器模拟，空间收敛率最高可达 p+1 阶，时间收敛率可达 p 阶。

ABSTRACT

We present and analyze a novel space-time hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the linear free-surface problem on prismatic space-time meshes. We consider a mixed formulation which immediately allows us to compute the velocity of the fluid. In order to show well-posedness, our space-time HDG formulation makes use of weighted inner products. We perform an a priori error analysis in which the dependence on the time step and spatial mesh size is explicit. We provide two numerical examples: one that verifies our analysis and a wave maker simulation.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且高阶精度的数值方法，用于流体动力学中的线性自由表面波问题。
• 通过在柱形网格上使用时空格式，解决自由表面引起的域变形挑战。
• 通过使用加权内积，确保离散格式的适定性。
• 通过混合格式实现流体速度的直接计算，避免后处理。
• 进行先验误差分析，明确依赖于空间网格尺寸和时间步长的误差关系。

提出的方法

• 在时空混合弱形式中使用速度-压力格式，表述线性自由表面问题。
• 在时空域上应用混合间断伽辽金（HDG）离散化，通过在单元面上引入迹变量实现静态消去。
• 在变分形式中使用加权内积，以证明离散问题的适定性。
• 采用基于投影的先验误差分析，专门针对时空柱形单元和加权范数设计。
• 推导各向异性尺度关系，将误差估计中的空间和时间依赖性分离。
• 在无限域和波浪发生器设置下实施数值实验，以验证理论收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于加权内积，为线性自由表面波问题构造并证明时空HDG方法的适定性？
• RQ2 所提出的混合格式是否允许直接、无需后处理地计算流体速度？
• RQ3 在时空HDG离散化中，误差对空间网格尺寸和时间步长的显式依赖关系是什么？
• RQ4 该方法能否在多项式阶数为 p 时，实现空间 O(h^p+1) 和时间 O(Δt^p) 的最优收敛率？
• RQ5 当时间步长未与空间网格尺寸合理匹配时，该方法在长时间模拟中的表现如何？

主要发现

• 由于使用了加权内积，时空HDG格式具有适定性，这对稳定性与收敛性分析至关重要。
• 数值结果证实了最优收敛率：当多项式阶数 p = 1, 2, 3 时，空间收敛率为 O(h^p+1)，时间收敛率为 O(Δt^p)。
• 对于固定空间网格，当时间细化超过某一阈值后，误差开始发散，凸显了在时空方法中合理平衡 Δt/h 的必要性。
• 波浪发生器模拟表明，该方法能够准确捕捉波的生成、传播与反射，且数值耗散极低。
• 更高多项式阶数（p = 2, 3）相比 p = 1 显著降低了数值耗散，证实了高阶精度的优势。
• 误差分析明确分离了空间与时间的收敛依赖关系，相较于仅基于时空网格尺寸的方法，提供了对误差来源更清晰的理解。