[论文解读] A sparse spectral method for Volterra integral equations using orthogonal polynomials on the triangle

Timon S. Gutleb, Sheehan Olver|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 29被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种基于三角形区域上双变量正交多项式求解第一类与第二类伏尔泰拉积分方程的稀疏谱方法。通过利用加权雅可比基下伏尔泰拉算子的稀疏性，并结合多变量克莱姆肖算法，该方法即使在非卷积型核的情况下也能实现指数收敛与高效率，且通过与托普利茨算子的联系，建立了严格的收敛性证明。

ABSTRACT

We introduce and analyse a sparse spectral method for the solution of Volterra integral equations using bivariate orthogonal polynomials on a triangle domain. The sparsity of the Volterra operator on a weighted Jacobi basis is used to achieve high efficiency and exponential convergence. The discussion is followed by a demonstration of the method on example Volterra integral equations of the first and second kind with known analytic solutions as well as an application-oriented numerical experiment. We prove convergence for both first and second kind problems, where the former builds on connections with Toeplitz operators.

研究动机与目标

• 开发一种高效、高阶的数值方法，用于求解第一类与第二类伏尔泰拉积分方程。
• 克服现有求解器仅限于卷积型核的局限性。
• 利用在三角形上双变量雅可比多项式基下伏尔泰拉算子的稀疏性，提升计算效率。
• 通过算子理论工具，为第一类与第二类问题建立严格的收敛性理论。
• 通过近似与扰动分析，证明方法在非多项式核情况下的适用性。

提出的方法

• 该方法使用三角形区域上的双变量正交多项式，将核函数与解函数表示为谱基下的形式。
• 通过利用在加权雅可比多项式基下伏尔泰拉积分算子的稀疏性，实现高计算效率。
• 采用多变量克莱姆肖算法变体，高效计算伏尔泰拉积分并求解所得线性系统。
• 该方法将积分方程转化为带状线性系统，从而可通过稀疏矩阵技术快速求解。
• 在收敛性分析中，该方法将伏尔泰拉算子与紧性扰动的托普利茨算子联系起来，尤其适用于第一类方程。
• 通过核的多项式逼近与扰动理论，将方法扩展至非多项式核。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于三角形上双变量正交多项式的谱方法，能否在第一类与第二类伏尔泰拉积分方程上实现高精度与高效率？
• RQ2 如何利用雅可比多项式基下伏尔泰拉算子的稀疏性来降低计算成本？
• RQ3 该方法能否应用于非卷积型核，从而超越许多现有谱求解器的限制？
• RQ4 该方法的收敛性理论基础是什么，特别是对第一类方程而言？
• RQ5 如何在保持收敛性的前提下，将该方法扩展至非多项式核？

主要发现

• 该方法对第一类与第二类伏尔泰拉积分方程均实现了指数收敛，收敛性通过与托普利茨算子的联系及有限截断方法得到证明。
• 伏尔泰拉算子在雅可比多项式基下呈现带状结构，从而可高效求解所得线性系统。
• 由于基函数与定义域的选择，该方法可适用于比卷积型求解器更广泛的核类，包括非卷积型核。
• 对于第一类方程，该方法的收敛性依赖于算子的弗雷德霍姆性质，当 K(x,x) ≠ 0 且核在 x=y 处不奇异时该性质成立。
• 当核通过不断增高的次数的多项式逼近时，解序列 uM 随 M→∞ 收敛于真实解 u，误差界由扰动理论导出。
• 数值实验表明，该方法在模型问题与面向应用的实例中均表现出高精度与高效率，包括奇异方程。