[论文解读] A special point problem of André-Pink-Zannier in the universal family of abelian varieties

Ziyang Gao|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在主极化阿贝尔簇的全族中证明了安德烈-平克-赞尼尔猜想的特殊情形，确立了当子簇与广义赫克轨道的交集在齐次空间中稠密时，该子簇为弱特殊子簇。通过模形式几何与丢番图估计，本文证明了在挠点与曲线情形下该猜想成立，并利用扎尔金技巧与纤维积构造将结果推广至非挠情形。

ABSTRACT

The André-Pink-Zannier conjecture concerns the intersection of subvarieties and the generalized Hecke orbit of a given point in mixed Shimura varieties. It is part of the Zilber-Pink conjecture. In this paper we focus on the universal family of principally polarized abelian varieties. We explain the moduli interpretation of the conjecture in this case and prove several different cases for this conjecture: its overlap with the André-Oort conjecture; when the subvariety is contained in an abelian scheme over a curve and the point is a torsion point on its fiber; when the subvariety is a curve.

研究动机与目标

• 在主极化阿贝尔簇的全族中，证明安德烈-平克-赞尼尔猜想的特定情形。
• 以各向同性阿贝尔族与挠点/常值截面的形式，建立弱特殊子簇的几何刻画。
• 通过证明在挠点情形下安德烈-奥尔特猜想与安德烈-平克-赞尼尔猜想的重叠，弥合二者之间的联系。
• 通过模形式理论方法，将纯希姆拉簇的结果推广至基类型为库加的混合希姆拉簇。
• 为挠点与非挠点情形下的广义赫克轨道提供丢番图估计。

提出的方法

• 利用阿贝尔簇全族的模形式解释，将广义赫克轨道定义为极化同源轨道的除法点。
• 应用弱特殊子簇的几何刻画：整体测地基底，以及由挠点与常值截面平移的阿贝尔子簇。
• 在挠点情形下，利用阿贝尔簇中除法群与挠点的结构，应用丢番图估计。
• 通过扎尔金技巧将非挠情形约化为挠情形，将阿贝尔簇嵌入更高维空间，使同源变为极化。
• 在基模形式空间上构造纤维积，以提升子簇并分析其在赫克轨道映射下的齐次闭包。
• 利用正规态射及齐次闭包与像的交换性，从积空间中的稠密性推导出弱特殊结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔簇全族中，当子簇与广义赫克轨道在齐次空间中稠密时，其成为弱特殊子簇的条件是什么？
• RQ2 在混合希姆拉设定下，纤维中的挠点如何与广义赫克轨道及弱特殊子簇相关联？
• RQ3 安德烈-奥尔特猜想与安德烈-平克-赞尼尔猜想在阿贝尔簇全族中是否存在重叠？
• RQ4 扎尔金技巧在将非极化同源轨道约化为极化同源轨道以用于丢番图应用中起什么作用？
• RQ5 如何利用阿贝尔簇中除法群的结构来估计赫克轨道的稠密度？

主要发现

• 当基点为纤维上挠点，且子簇位于曲线上方的阿贝尔簇族中时，该猜想成立。
• 本文在阿贝尔簇全族中证明了曲线情形下的猜想，扩展了皮拉-赞尼尔框架下的先前结果。
• 安德烈-奥尔特猜想与安德烈-平克-赞尼尔猜想的重叠已确立：若子簇包含由固定极化同源轨道产生的齐次空间稠密的CM点集，则其为弱特殊子簇。
• 对于非挠点，通过扎尔金技巧将猜想约化为挠点情形，将问题嵌入更高维全族中，使同源变为极化。
• 广义赫克轨道被证明由其基点的极化同源轨道的除法点构成，提供了模形式理论解释。
• 赫克轨道映射下弱特殊子簇的原像的齐次闭包在积空间中为弱特殊子簇，从而推出原子簇为弱特殊子簇。