[论文解读] A special value of Ruelle L-function and the theorem of Cheeger and Muller

Ken‐ichi Sugiyama|ArXiv.org|Mar 14, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了有限体积非紧双曲三维流形的Cheeger-Müller型定理，证明了Ruelle L函数在零点的特殊值等于修正Ray-Singer torsion与几何周期乘积的平方。通过使用扭曲亚历山大多项式，显式计算了扭结补集上酉局部系统的情形，将解析 torsion 恒等式推广至非紧设置。

ABSTRACT

We will show a theorem of a type of Cheeger and Muller for a noncompact complete hyperbolic threefold of finite vulume. As an application we will compute a special value of Ruelle L-function at the origin for a unitary local system which is cuspidal.

研究动机与目标

• 将 Cheeger-Müller 定理推广至有限体积的非紧完备双曲三维流形。
• 建立 Ruelle L 函数在零点的特殊值与解析及组合不变量之间关系的公式。
• 计算扭结补集中 cuspidal 单位酉局部系统情形下 Ruelle L 函数的特殊值。
• 通过谱理论与 Reidemeister torsion 技术，将解析 torsion 恒等式推广至具有柱状边界（cusp）的非紧流形。

提出的方法

• 利用 J. Park 的结果：Ruelle L 函数在 $z=0$ 处有 $2h^1(X,\rho)$ 阶零点，从而将问题简化为分析首项系数。
• 应用谱 zeta 函数 $\zeta_X(z,\rho)$，并将其在零点的导数与 Ruelle L 函数的特殊值联系起来。
• 依赖于在具有环面边界之紧化流形上取极限的论证，证明非紧情形下 Ray-Singer 与 Franz-Reidemeister torsion 的等价性。
• 使用 Fox 微分计算从扭结群表示中得到的扭曲亚历山大多项式 $\Delta_{K,\rho}(t)$。
• 应用上同调中的长正合列，将 $h^1(X_K,\rho)$ 的消失性与 $\Delta_1(1)$ 及 $A_K(\xi)\neq 0$ 的非消失性联系起来。
• 当 $h^1=0$ 时，利用关系 $\tau(X_K,\rho) = |\Delta_{K,\rho}(1)|$，计算特殊值 $R_{X_K}(0,\rho) = \left| \frac{A_K(\xi)}{1-\xi} \right|^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cheeger-Müller 定理是否对具有柱状边界（cusp）的非紧双曲三维流形成立？
• RQ2 Ruelle L 函数在零点的特殊值能否用解析与组合 torsion 不变量表示？
• RQ3 对于扭结补集上的单位酉局部系统，Ruelle L 函数在零点的显式值是什么？
• RQ4 扭曲亚历山大多项式与 Ruelle L 函数的特殊值之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下 $h^1(X_K,\rho)$ 消失？这如何影响 L 函数的值？

主要发现

• Ruelle L 函数在零点的特殊值为 $\lim_{z\to 0} z^{-2h^1(X,\rho)} R_X(z,\rho) = (\tau^*(X,\rho) \cdot \mathrm{Per}(X))^2$，其中 $\tau^*$ 为修正 Ray-Singer torsion，$\mathrm{Per}(X)$ 为几何周期。
• 当 $h^1(X,\rho) = 0$ 时，特殊值简化为 $R_X(0,\rho) = \tau(X,\rho)^2$，其中 $\tau$ 为标准 Franz-Reidemeister torsion。
• 对于双曲扭结 $K$ 与单位特征 $\rho_\xi$（$\xi \neq 1$），特殊值为 $R_{X_K}(0,\rho) = \left| \frac{A_K(\xi)}{1-\xi} \right|^2$，其中 $A_K(t)$ 为亚历山大多项式。
• $h^1(X_K,\rho)$ 的消失性等价于 $A_K(\xi) \neq 0$ 且 $\xi \neq 1$，从而保证了特殊值的可计算性。
• 证明依赖于具有非乘积度量的紧化极限，利用 Dai-Fang 公式证明在极限下 Ray-Singer 与 Franz-Reidemeister torsion 相等。
• 扭曲亚历山大多项式 $\Delta_{K,\rho}(t)$ 满足 $\Delta_{K,\rho}(1) = \frac{A_K(\xi)}{1-\xi}$，从而与特殊值直接关联。