[论文解读] A Spectral Approach to Polytope Diameter

Hariharan Narayanan, Rikhav Shah+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文提出一种基于谱方法的多面体直径上界估计，利用薛定谔算子和马尔可夫链的特征值，结合多面体体积在松弛变量上的对数凹性。该方法在整数约束规模和子行列式方面建立了改进的最坏情况界，并在平滑分析中证明：在高斯噪声下，顶点的‘巨大连通分量’具有多项式直径，其中顶点采样采用平均曲率测度。

ABSTRACT

We prove upper bounds on the graph diameters of polytopes in two settings. The first is a worst-case bound for integer polytopes in terms of the length of the description of the polytope (in bits) and the minimum angle between facets of its polar. The second is a smoothed analysis bound: given an appropriately normalized polytope, we add small Gaussian noise to each constraint. We consider a natural geometric measure on the vertices of the perturbed polytope (corresponding to the mean curvature measure of its polar) and show that with high probability there exists a "giant component" of vertices, with measure 1-o(1) and polynomial diameter. Both bounds rely on spectral gaps - of a certain Schrödinger operator in the first case, and a certain continuous time Markov chain in the second - which arise from the log-concavity of the volume of a simple polytope in terms of its slack variables.

研究动机与目标

• 通过在整数约束和随机扰动下界定多面体直径，解决多项式霍尔赫猜想。
• 通过使用切比雪夫多项式实现的谱展开，克服先前组合展开技术的局限性。
• 建立平滑分析结果，表明以高概率，大多数顶点（在平均曲率测度下）形成具有多项式直径的‘巨大连通分量’。
• 统一凸几何、布伦-闵可夫斯基理论与随机矩阵理论中的几何、谱与概率技术。

提出的方法

• 利用多面体图与松弛变量导出的薛定谔算子的谱间隙。
• 通过多面体在松弛变量上的体积对数凹性，推导谱间隙。
• 在顶点上使用连续时间马尔可夫链来建模随机游走并分析混合行为。
• 在对偶多面体上引入一种几何测度（平均曲率测度），以在平滑分析中定义‘大多数’顶点。
• 使用独立同分布的高斯噪声对约束进行摄动理论分析，以确保良好分布性与反集中性。
• 应用浓度不等式与几何概率（例如与球体的交集概率）来界定顶点连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱方法能否在子行列式依赖关系上，相比组合展开方法，改善整数约束多面体的最坏情况直径界？
• RQ2 对随机多面体的平滑分析是否能在自然几何测度下，产生一个具有小直径的‘巨大连通分量’？
• RQ3 子行列式与约束的位复杂度如何影响有界多面体的直径？
• RQ4 能否通过谱间隙（经由薛定谔算子）推导出更紧的直径界？
• RQ5 松弛变量中体积的对数凹性在实现基于谱的直径分析中起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了在整数约束下，多面体的最坏情况直径界为 O(d²∆∥A∥∞ log(m∥A∥∞∥b∥∞∆))，在子行列式依赖关系上优于先前结果。
• 该界为非构造性，但通过谱技术与切比雪夫多项式实现了相对于组合方法的‘平方根’改进。
• 在平滑分析中，以高概率，存在一个顶点子集 G 满足 χ₂(G) ≥ (1−ψ)χ₂(Ω)，其直径为 O(poly(m,d)/(σ⁴ψ))，从而确立了具有多项式直径的‘巨大连通分量’。
• 该结果适用于平滑单位线性规划模型，其中约束经独立同分布高斯噪声扰动，且 χ₂ 对应于对偶多面体上的平均曲率测度。
• 分析依赖于布伦-闵可夫斯基理论中的谱间隙，特别是霍奇-罗曼关系，以确保顶点游走的快速混合。
• 关键技术步骤表明，扰动后的多面体以高概率包含一个半径为 Ω(σm⁻⁵) 的球体，从而确保平滑分析中的良好分布性。