[论文解读] A spectral decomposition of the attractor of piecewise contracting maps of the interval

A. Calderón, Eleonora Catsigeras+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文建立了具有有限个间断点和极值点的分段压缩区间映射（PCIMs）吸引子的谱分解。证明了吸引子可分解为有限个最小分量——每个分量为周期轨道或极小康托集，且每个分量均为某处间断点或极值点处单侧极限的ω-极限集，从而对渐近行为提供了完整的拓扑与动力学刻画。

ABSTRACT

We study the asymptotic dynamics of piecewise contracting maps defined on a compact interval. For maps that are not necessarily injective, but have a finite number of local extrema and discontinuity points, we prove the existence of a decomposition of the support of the asymptotic dynamics into a finite number of minimal components. Each component is either a periodic orbit or a minimal Cantor set and such that the $\omega$-limit set of (almost) every point in the interval is exactly one of these components. Moreover, we show that each component is the $\omega$-limit set, or the closure of the orbit, of a one-sided limit of the map at a discontinuity point or at a local extremum.

研究动机与目标

• 刻画紧区间上分段压缩映射吸引子的拓扑与动力结构。
• 解决关于任意复杂度与压缩段数的吸引子描述这一开放问题。
• 证明吸引子可分解为有限个最小分量，每个分量为周期轨道或极小康托集。
• 表明每个此类分量均为某处间断点或局部极值点处单侧极限的ω-极限集。
• 建立分量数量的上界，其表达式以压缩段数与间断点数表示。

提出的方法

• 将吸引子Λ定义为集合X\∆的正向像的交集，排除间断点。
• 引入在间断点与极值点处的单侧极限集合D，并假设D ⊂eX，以确保渐近动力学的良定义性。
• 定义ω-极限集与伪不变集，以分析长期行为，特别是eX中点的行为。
• 在∆lr（其左右极限属于同一ω-极限集的点）上引入等价关系∼+，并在偏序≼+下定义最小类。
• 证明每个最小类对应唯一一个eX-极小康托集，且该康托集即为该类中点处单侧极限的ω-极限集。
• 利用压缩性质与轨道闭包论证，证明在最小类点处，d+或d−的轨道闭包等于相应康托集。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧区间上分段压缩映射的吸引子能否分解为有限个最小动力分量？
• RQ2 此类分解中每个分量的拓扑性质为何？（周期轨道或康托集）
• RQ3 这些分量如何与映射在间断点或极值点处的单侧极限相关联？
• RQ4 在压缩段数与间断点数的表达下，此类分量的最大数量是多少？
• RQ5 eX中任意点的ω-极限集是否能通过∆中特定点处的单侧极限完全刻画？

主要发现

• 吸引子Λ分解为有限个最小分量：周期轨道O1,…,ON1与eX-极小康托集K1,…,KN2。
• 对每个x ∈eX，其ω-极限集ω(x)恰好为这些分量之一：或为周期轨道Oi，或为康托集Kj。
• 每个康托集Kj至少包含一个压缩段的边界点ck，且Kj为该点处d+k或d−k轨道的闭包。
• 若ck ∈Kj且不属于Kj的间隙，则O(d+k) = O(d−k)，即两个单侧极限生成相同的轨道闭包。
• 分量总数满足1 ≤ N1 + N2 ≤ #D，且N1 + 2N2 ≤ 2(N−1)，当N2 = N−1时等号成立，此时N1 = 0。
• 当f在每段上单调递增时，边界简化为N1 + N2 ≤ N，表明分量数量受压缩段数的限制。