[论文解读] A Spectral Sequence Connecting Continuous With Locally Continuous Group Cohomology

Martin Fuchssteiner|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文构建了一个谱序列，将拓扑群的连续群上同调与局部连续群上同调联系起来，证明了对于可缩拓扑群，这两种上同调理论是同构的。该方法依赖于一个行精确的双复形，其在可缩性下的精确性强制导致上同调同构，通过亚历山大-斯潘泽上同调将结果推广至光滑李群。

ABSTRACT

We present a spectral sequence connecting the continuous and 'locally continuous' group cohomologies for topological groups. As an application it is shown that for contractible topological groups these cohomology concepts coincide. Similar results for k-groups and smooth cochains on Lie groups are also obtained.

研究动机与目标

• 建立拓扑群的连续群上同调与局部连续群上同调之间的联系。
• 解决在实系数下，如 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 这类紧致豪斯多夫群中，连续群上同调的长正合序列失效的问题。
• 证明对于可缩拓扑群，连续群上同调与局部连续群上同调完全一致。
• 通过亚历山大-斯潘泽上同调，将结果推广至光滑变换群与李群。

提出的方法

• 构造一个行精确的双复形 $A_{cg,eq}(G;V)$，其行与列分别由复形 $C_{cg}^{*}(G;V)$ 和 $C_{c}^{*}(G;V)$ 增补而成。
• 利用 $G$ 的可缩性证明该双复形的列是精确的，从而推出包含映射 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 在上同调上诱导同构。
• 运用指数法则与上极限构造，关联连续与局部连续上链复形。
• 利用流形上层上同调与亚历山大-斯潘泽上同调之间的同构关系。
• 应用谱序列工具比较 $H_{cg}^{*}(G;V)$ 与 $H_{c}^{*}(G;V)$，证明在可缩性条件下二者收敛至同一上同调。
• 通过验证包含映射 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V) \hookrightarrow A_{AS}^{*}(M;C(M^{p+1},V))$ 在可缩流形上诱导上同调同构，将结果推广至光滑李群。

实验结果

研究问题

• RQ1 可缩拓扑群的连续群上同调是否与局部连续群上同调一致？
• RQ2 为何在如 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 这类紧致豪斯多夫群中，连续上同调的标准长正合序列会失效？
• RQ3 能否构造一个谱序列以关联连续与局部连续群上同调？
• RQ4 在何种条件下，包含映射 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 会在上同调上诱导同构？
• RQ5 上同调之间的同构关系是否可推广至光滑李群？

主要发现

• 对于可缩拓扑群，包含映射 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 在上同调上诱导同构，因此 $H_{cg}^{*}(G;V) \cong H_{c}^{*}(G;V)$。
• 在 $G = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的情况下，连续上同调中长正合序列的失效问题，可通过使用局部连续上链复形得以解决。
• 双复形 $A_{cg,eq}(G;V)$ 是行精确的，且其在可缩性下的列精确性强制导致上同调同构。
• 对于光滑可缩李群，连续群上同调同构于具有在对角线上连续芽的齐次群上链复形的上同调。
• 对于可缩流形 $M$，层上链复形的上极限 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V)$ 的上同调是平凡的，从而推出上同调理论的同构。
• 对于光滑可缩李群 $G$，包含映射 $A_{s}^{*}(M;V)^{G} \hookrightarrow A_{sg}^{*}(M;V)^{G}$ 在上同调上诱导同构。