[论文解读] A spectral sequence for Iwasawa adjoints

Uwe Jannsen|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文建立了一个谱序列，将 $p$-进李扩张中连续伽罗瓦上同调群与相应伽罗瓦模的伊wasawa对偶模联系起来。通过构造有限生成的伊wasawa模谱序列，该研究提供了一种纯粹代数工具，用于通过完备群环上的Ext群研究广义伊wasawa对偶，关键应用包括塔模结构与伊wasawa理论中上同调的分析。

ABSTRACT

We establish a purely algebraic tool for studying the Iwasawa adjoints of some natural Iwasawa modules for $p$-adic Lie group extensions of number fields, by relating them to certain continuous Galois cohomology groups via a spectral sequence.

研究动机与目标

• 开发一种纯粹代数工具，用于分析 $p$-进李扩张中伽罗瓦模的广义伊wasawa对偶。
• 将定义为完备群环上Ext群的伊wasawa对偶与连续伽罗瓦上同调群联系起来。
• 建立一个谱序列，以伊wasawa对偶表示有限子扩张上同调群的逆极限。
• 通过谱序列将经典伊wasawa对偶结果推广至非交换 $p$-进李群。
• 为研究非平凡伽罗瓦作用下塔模及其上同调结构提供一个框架。

提出的方法

• 构造一个有限生成 $\Lambda$-模的谱序列，其中 $\Lambda = \mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]$ 且 $\mathcal{G} = \mathrm{Gal}(k_\infty/k)$ 是一个 $p$-进李群。
• 利用上导出函子 $E^i(M) = \mathrm{Ext}^i_\Lambda(M, \Lambda)$ 定义 $\Lambda$-模 $M$ 的伊wasawa对偶，推广经典伊wasawa对偶。
• 对群对 $G_{\infty,S} \subset G_S$ 应用Hochschild-Serre谱序列，系数为 $p$-主模 $A$，从而导出上同调谱序列。
• 利用 $A$ 作为阿贝尔群同构于 $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^r$ 且是离散 $G_S$-模的事实，确保其为有限生成 $\Lambda$-模。
• 通过有限子扩张 $k' \subset k_\infty$ 与 $p^n$-挠层级的逆极限，将离散上同调与塔模的连续上同调联系起来。
• 通过关于系数为 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-模的投影群上同调的一般结果证明谱序列，建立上同调与Ext群的 $\delta$-函子之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将伽罗瓦模的伊wasawa对偶与 $p$-进李扩张中连续伽罗瓦上同调群联系起来？
• RQ2 何种谱序列结构将Ext群 $\mathrm{Ext}^i_\Lambda(H^q(G_{\infty,S}, A)^\vee, \Lambda)$ 与上同调群的逆极限 $H^{p+q}(G_S(k'), A[p^m])$ 联系起来？
• RQ3 在何种条件下谱序列退化或简化，特别是当 $H^2(G_{\infty,S}, A) = 0$ 时？
• RQ4 谱序列在指数为 $p^n$ 的有限 $p$-主模下表现如何，其与塔模连续上同调的关系为何？
• RQ5 谱序列能否用于恢复或推广非交换情形下的经典伊wasawa对偶结果？

主要发现

• 谱序列 $E_2^{p,q} = \mathrm{Ext}^p_\Lambda(H^q(G_{\infty,S}, A)^\vee, \Lambda) \Rightarrow \varprojlim_{k', m} H^{p+q}(G_S(k'), A[p^m])$ 直接建立了伊wasawa对偶与有限子扩张上同调之间的联系。
• 当 $H^2(G_{\infty,S}, A) = 0$ 时，膨胀映射 $\inf^2$ 的余核同构于 $\ker(E^1(H^1(G_{\infty,S}, A)^\vee) \to E^3(H^0(G_{\infty,S}, A)^\vee))$，为弱Leopoldt猜想提供了上同调障碍。
• 当 $\mathcal{G} \cong \mathbb{Z}_p^r$ 时，伊wasawa对偶 $E^i(M)$ 通过 $E^i(M) \cong H^{r+1-i}_{\mathfrak{m}}(M)^\vee$ 同构于局部上同调群，推广了经典对偶性。
• 谱序列在低阶退化为一个包含 $E^1(H^0)^\vee$、$\varprojlim H^1(G_S(k'), T_pA)$ 与 $E^2(H^0)^\vee$ 的五项正合列，提供了一种计算工具。
• 对于指数为 $p^n$ 的有限 $p$-主模 $A$，存在类似的谱序列，其中 $\Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n[[\mathcal{G}]]$，且上同调群同构于 $\mathrm{Ext}^{p+q-1}_{\Lambda_n(G_S)}(A^\vee, \Lambda_n)$。
• 当 $A$ 的指数为 $p^d$ 时，$H^m(G_S, A[p^n])$ 关于 $n$ 的逆极限在 $m \geq 1$ 时为零，这是由于Mittag-Leffler条件，使得谱序列能够稳定。