[论文解读] A sphere theorem for Bach-flat manifolds with positive constant scalar curvature

Yi Fang, Wei Yuan|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了闭 Bach-平坦黎曼流形在正的常数标量曲率下的球面定理，证明若 Weyl 张量与无迹 Ricci 张量在 $L^\infty$ 或 $L^{n/2}$ 范数下足够小，则流形必为局部球面。结果推广了 M.-A. Singer 对爱因斯坦流形的刚性定理，并在曲率与 Yamabe 常数约束下部分恢复了 Chang-Gursky-Yang 的 4 维共形球面定理，方法上引入了对对称 2-张量的新型全局估计及在 Yamabe 常数控制下的 Sobolev 不等式。

ABSTRACT

We show a closed Bach-flat Riemannian manifold with a fixed positive constant scalar curvature has to be locally spherical if its Weyl and traceless Ricci tensors are small in the sense of either $L^\infty$ or $L^{\frac{n}{2}}$-norm. Compared with the complete non-compact case done by Kim, we apply a different method to achieve these results. These results generalize a rigidity theorem of positive Einstein manifolds due to M.-A.Singer. As an application, we can partially recover the well-known Chang-Gursky-Yang's $4$-dimensional conformal sphere theorem.

研究动机与目标

• 建立闭 Bach-平坦流形在正的常数标量曲率下，当曲率张量满足小性条件时的刚性结果。
• 将 M.-A. Singer 对正爱因斯坦流形的刚性定理推广至更广泛的 Bach-平坦流形类。
• 在曲率与 Yamabe 常数约束下，恢复 Chang-Gursky-Yang 的 4 维共形球面定理的部分版本。
• 提出一种适用于紧致流形的新型全局刚性机制，区别于 Kim 在非紧致情形下基于 $L^2$-范数衰减的方法。

提出的方法

• 利用对称 2-张量的全局估计（命题 2.3）控制无迹 Ricci 张量 $E$ 与 Weyl 张量 $W$。
• 应用仅依赖于维数 $n$ 与 Yamabe 常数下确界 $\alpha_0$ 的 Sobolev 不等式。
• 运用 Kato 不等式与 Hölder 不等式，将 $E$ 与 $W$ 的 $L^{2n/(n-2)}$-范数以它们的 $L^{n/2}$-范数为基准进行控制。
• 利用 4 维中 Weyl 张量 $L^2$-范数的共形不变性，将原度量 $g$ 与 Yamabe 度量 $\hat{g}$ 关联。
• 在 4 维中应用 Gauss-Bonnet-Chern 公式，将 Weyl 张量的 $L^2$-范数以 Euler 示性数与体积为基准进行控制。
• 通过反证法证明当 $E$ 与 $W$ 的 $L^{n/2}$-范数低于依赖于 $\alpha_0$ 的阈值时，其必为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率小性条件下，闭 Bach-平坦流形在正的常数标量曲率下成为局部球面？
• RQ2 正爱因斯坦流形的刚性结果能否推广至 Bach-平坦流形？
• RQ3 在曲率张量的 $L^{n/2}$-范数有界下，Chang-Gursky-Yang 的 4 维共形球面定理在多大程度上可被恢复？
• RQ4 Yamabe 常数如何影响 Bach-平坦流形在正标量曲率下的刚性？
• RQ5 是否存在一种适用于紧致 Bach-平坦流形的全局刚性机制，可避免非紧致情形中使用的 $r \to \infty$ 论证？

主要发现

• 若 $||W||_{L^\infty} + ||E||_{L^\infty} < \frac{n-1}{4}$，则流形同构于 $\mathbb{S}^n$ 的商流形。
• 若 $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{3\alpha_0}{32n(n-1)}$ 且 Yamabe 常数 $Y(M,[g]) \geq \alpha_0 > 0$，则流形同构于 $\mathbb{S}^n$ 的商流形。
• 在相同 Yamabe 常数条件下，若 $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{\alpha_0}{4n(n-1)}$，则流形为爱因斯坦流形。
• 在 4 维中，若 $\int_M |W_g|^2 dv_g < \frac{32}{3}\pi^2(\chi(M^4) - 2) + \frac{\alpha_0}{192}$，则 $(M^4,g)$ 共形同构于 $\mathbb{S}^4$ 或 $\mathbb{RP}^4$。
• 证明依赖于对对称 2-张量的新型全局估计及 Sobolev 不等式，其中常数 $C_S$ 仅依赖于 $n$ 与 $\alpha_0$，而与度量无关。
• 结果推广了 Singer 对爱因斯坦流形的 $L^{n/2}$-间隙定理，并在无需完整曲率 pinching 的条件下部分恢复了 4 维共形球面定理。