[论文解读] A Splitting Criterion for Galois Representations Associated to Exceptional Modular Forms (mod p)

Ken McMurdy|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为模 p 的例外模形式所附着的伽罗华表示建立了分裂准则，证明此类表示当且仅当两个上同调不变量（源自 de Rham 对数和上积）在模 p^{p+1} 下为零时是分裂的。关键贡献在于提出一种计算方法，将分裂行为与显式模形式及 p 进 Hodge 理论联系起来，特别是在极大理想处的 Hecke 代数同构于 Z_p 的情形。

ABSTRACT

This paper continues the study of certain two-dimensional Galois representations attached to modular forms (mod p) via a construction due to Deligne. In particular, we prove a criterion for determining when the representation is split when restricted to a decomposition group at p.While this problem was already well understood for "nonexceptional" modular forms, here we specifically address the "exceptional" case. Although the problem is not solved in all generality, it is reasonable to hope that this proof will in fact provide the framework of a proof in the more general case.

研究动机与目标

• 解决关于模 p 的例外模形式所关联的伽罗华表示何时分裂的开放问题，特别是当对角特征相等时（即 k = p 且 ε(p) = a_p²）
• 将 Serre 的伴从形式猜想及其由 Gross 和 Coleman-Voloch 的证明推广至标准分裂准则失效的例外情形
• 通过源自模形式 f 关联的 p-挠群 G_f 的 p 进 Hodge 理论不变量，建立 ρ_f,p 分裂的计算准则
• 提供从特征 0 的提升 q 显式计算分裂不变量 q_p 的公式，利用 de Rham 上同调与模形式上的内积

提出的方法

• 本文从一个提升 f 的权为 2 的新形式 F 构造一个 p-可除群 G_f，使得 ρ_f,p 是 G_f[p] 上伽罗华表示的扭
• 通过伽罗华群在 G_f 的 Tate 模上的作用，定义一个分裂不变量 q_p ∈ R^* / (R^*)^p，用以判断 ρ_f,p 是否分裂
• 主要工具是基于 Coleman 和 Voloch 方法推导出的 H^1_DR(I_1(N)) 上上积的 d log q 公式
• 第二个公式通过 H^0(X_1(Np), Ω) 上的内积推导，解释为在模 I_1(N) 的曲线的 de Rham 上同调上的上积
• 随后将分裂准则约化为两个不变量的消失：d log q ≡ 0 mod π dπ 与 log q ≡ 0 mod π^{p+1}
• 证明依赖于在环 R 中显式计算 p 进对数与指数，证明这两个条件等价于 ρ_f,p 的分裂

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准伴从形式准则失效时，模 p 的例外模形式所关联的伽罗华表示 ρ_f,p 在何种条件下是分裂的？
• RQ2 当 m_f 处的 Hecke 代数同构于 Z_p 时，如何利用 p 进上同调不变量检测 ρ_f,p 的分裂？
• RQ3 ρ_f,p 的分裂与源自模形式及其 de Rham 实现的上同调不变量的消失之间存在何种精确关系？
• RQ4 分裂不变量 q_p 是否能从 p-可除群 G_f 的特征 0 提升 q 显式计算？

主要发现

• 伽罗华表示 ρ_f,p 当且仅当分裂不变量 q_p 是 R^* / (R^*)^p 中的 p 次幂时是分裂的
• 分裂准则等价于 d log q 模 π dπ 为零与 log q 模 π^{p+1} 为零
• 分裂不变量 q_p 可通过公式 q_p ≡ ζ^s (1 + π^p)^{t + s(A_p^2 / ε(p) - 1)/p} mod π^{p+1} 从提升 q 显式计算
• d log q 模 π dπ 为零等价于内积 <[f], [f’]>_I ≡ 0 mod π dπ，其中 f’ 是 f 关于 w 的 twist
• log q 模 π^{p+1} 为零等价于内积 (ω_F, ω_{F|w})_∞ ≡ 0 mod π^{p+1}
• 主要结果等价于断言：ρ_f,p 无瑕当且仅当类 [π^{-p} F|w] 在 H^1_DR(I_1(N)) 中为零