[论文解读] A splitting of the virtual class for genus one stable maps

Tom Coates, Cristina Manolache|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文通过在模空间的'幽灵'分支（即亏格零的退化）上定义虚拟类，建立了对光滑射影代数簇上亏格一稳定映射的虚拟基本类的循环层次分解。利用虚拟类的广义函子性性质，证明了这些幽灵分支到亏格零模空间的虚拟上推满足强上推性质，从而导出卡拉比-丘三流形上标准与约化格罗莫夫-威滕不变量之间的精确公式：$ \operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$。

ABSTRACT

Moduli spaces of stable maps to a smooth projective variety typically have several components. We express the virtual class of the moduli space of genus one stable maps to a smooth projective variety as a sum of virtual classes of the components. The key ingredient is a generalised functoriality result for virtual classes. We show that the natural maps from 'ghost' components of the genus one moduli space to moduli spaces of genus zero stable maps satisfy the strong push forward property. As a consequence, we give a cycle-level formula which relates standard and reduced genus one Gromov--Witten invariants of a smooth projective Calabi--Yau theefold.

研究动机与目标

• 将亏格一稳定映射模空间的虚拟基本类分解为其不可约分支（包括退化的'幽灵'分支）的贡献之和。
• 建立虚拟类的广义函子性性质，特别是幽灵分支到亏格零模空间的映射的强虚拟上推性质。
• 提供一个循环层次的证明，以建立标准与约化格罗莫夫-威滕不变量在亏格一情形下的齐辛/李–齐辛公式的联系。
• 通过幽灵分支上的虚拟类，将约化格罗莫夫-威滕不变量的理论推广至卡拉比-丘三流形。

提出的方法

• 对模空间 $\overline{M}_{1,n}(X,d)$ 的一个展开 $\tilde{M}(X)$ 进行吹破，以解决奇点，并在主分支与幽灵分支上定义虚拟类。
• 在幽灵分支的展开 $\tilde{M}(X)^\lambda$ 上定义受限的障碍理论，确保其为完美理论，且与相对障碍理论对偶。
• 构造 $\tilde{M}(X)$ 上障碍理论的形变空间，并对其进行吹破，以确保虚拟类具有正确的维数。
• 利用虚拟类的广义函子性结果，证明从 $\tilde{M}(X)^\lambda$ 到 $P(X)^\lambda$ 的虚拟类上推是良定义的，并满足强上推性质。
• 在投影 $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$ 的一般纤维上进行局部计算，通过法丛的陈类与相对障碍理论计算其次数。
• 应用虚拟拉回与上推的交换性，计算虚拟类上推中的有理系数 $k$，从而导出包含 $\frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$ 的关键公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将亏格一稳定映射模空间的虚拟基本类分解为其不可约分支（包括退化的幽灵分支）的贡献？
• RQ2 幽灵分支到亏格零模空间的自然投影是否满足强虚拟上推性质？
• RQ3 能否推导出一个循环层次的公式，以关联卡拉比-丘三流形上标准与约化亏格一格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ4 在亏格一情形下，标准与约化不变量之间的精确系数是什么？其几何计算方式如何？

主要发现

• 亏格一稳定映射模空间的虚拟基本类可分解为主分支与幽灵分支虚拟类之和：$[\tilde{M}(X)]^{\text{virt}} = [\tilde{M}(X)^0]^{\text{virt}} + \sum_{\lambda \in I} [\tilde{M}(X)^\lambda]^{\text{virt}}$。
• 映射 $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$ 满足强虚拟上推性质，确保虚拟类的上推与 $P(X)^\lambda$ 上的虚拟类成比例。
• 对于卡拉比-丘三流形 $X$，标准与约化亏格一格罗莫夫-威滕不变量的关系为 $\operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$。
• 幽灵分支上虚拟类上推中的系数 $k$ 计算为 $k = \frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$，该结果由一般纤维上法丛的第二陈类导出。
• 幽灵分支 $\tilde{M}(X)^1$ 到 $M_{0,0}(X,\beta)$ 的虚拟上推为 $\frac{2 + K_X \cdot \beta}{24} [M_{0,0}(X,\beta)]^{\text{virt}}$。
• 该结果无需假设 $X$ 为完全交，从而推广了以往依赖此类假设的研究成果。