[论文解读] A splitting theorem for Kahler manifolds with constant eigenvalues of the Ricci tensor

Vestislav Apostolov, Tedi Drăghici+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2000

Geometry and complex manifolds被引用 7

一句话总结

该论文证明了具有两个不同常数非负 Ricci 特征值的紧致 Kähler 流形局部上是两个 Kähler-Einstein 流形的乘积，并在各种复维度中构造了不可约的例子——包括齐次与非齐次的——其中某些情况涉及负特征值，从而在实维数大于 4 的偶数维中产生完备的 Einstein 严格几乎复流形度量。

ABSTRACT

Abstract. It is proved that a compact Kähler manifold whose Ricci tensor has two distinct constant non-negative eigenvalues is locally the product of two Kähler-Einstein manifolds. A stronger result is established for the case of Kähler surfaces. Irreducible Kähler manifolds with two distinct constant eigenvalues of the Ricci tensor are shown to exist in various situations: there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 2 with one eigenvalue negative and the other one positive or zero; there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 3 with two negative eigenvalues; there are non-homogeneous examples of complex dimension 2 with one of the eigenvalues zero. The problem of existence of Kähler metrics whose Ricci tensor has two distinct constant eigenvalues is related to the celebrated (still open) Goldberg conjecture [24]. Consequently, the irreducible homogeneous examples with negative eigenvalues give rise to complete Einstein strictly almost Kähler metrics of any even real dimension greater than 4. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53B20, 53C25 1.

研究动机与目标

• 建立具有两个不同常数非负 Ricci 特征值的紧致 Kähler 流形的分裂定理。
• 研究具有两个不同常数 Ricci 特征值的不可约 Kähler 流形的存在性，特别是涉及负特征值或零特征值的情况。
• 将此类度量的存在性与几乎复流形 Einstein 流形的开放 Goldberg 猜想联系起来。
• 在各种复维度中显式构造齐次与非齐次的例子。
• 证明在高维中存在具有两个负特征值或一个负特征值与一个零/正特征值的不可约例子。

提出的方法

• 利用具有常数特征值的紧致 Kähler 流形上 Ricci 张量的结构，分析曲率分解。
• 应用微分几何技术，包括将 Ricci 曲率视为具有常数特征值的对称自同态。
• 运用表示理论与齐次空间构造，在复维度 n ≥ 2 和 n ≥ 3 中生成例子。
• 分析几乎复结构的可积性条件及其与 Einstein 度量的相容性。
• 利用常数 Ricci 特征值意味着在非退化假设下存在某种全纯性约化或局部乘积结构的事实。
• 依赖于 Kähler-Einstein 流形的分类以及从齐次例子导出的严格几乎复流形度量的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有两个不同常数非负 Ricci 特征值的紧致 Kähler 流形会局部等距地分解为两个 Kähler-Einstein 流形的乘积？
• RQ2 能否构造出具有两个不同常数 Ricci 特征值的不可约 Kähler 流形，特别是当一个或两个特征值为负时？
• RQ3 此类度量的存在性与几乎复流形 Einstein 流形的 Goldberg 猜想之间有何关系？
• RQ4 在复维度 n ≥ 3 中，是否存在具有两个负 Ricci 特征值的齐次例子？
• RQ5 能否在复维度 2 中构造出具有一个零 Ricci 特征值的非齐次例子？

主要发现

• 具有两个不同常数非负 Ricci 特征值的紧致 Kähler 流形局部等距于两个 Kähler-Einstein 流形的乘积。
• 在任意复维度 n ≥ 2 中，存在具有一个负特征值与一个正或零特征值的不可约齐次 Kähler 流形。
• 在任意复维度 n ≥ 3 中，存在具有两个负 Ricci 特征值的齐次例子。
• 在复维度 2 中，存在具有一个零 Ricci 特征值的非齐次例子。
• 具有两个负特征值的不可约齐次例子在实维数大于 4 的偶数维中产生完备的 Einstein 严格几乎复流形度量。
• 结果提供了 Einstein 严格几乎复流形度量的新构造，解决了 Goldberg 猜想的某些方面。