[论文解读] A squeezing property and its applications to a description of long time behaviour in the 3D viscous primitive equations

Igor Čhuešhov|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文为具有周期边界条件的3D粘性原始方程建立了Ladyzhenskaya型压缩性质，证明了全局吸引子具有有限分形维数，存在有限个决定性模态，且该系统的随机踢动版本是遍历的。该结果依赖于Sobolev $ H^1 $-型空间中的统一光滑估计和谱投影技术。

ABSTRACT

We consider the 3D viscous primitive equations with periodic boundary conditions. These equations arise in the study of ocean dynamics and generate a dynamical system in a Sobolev H^1 type space. Our main result establishes the so-called squeezing property in the Ladyzhenskaya form for this system. As a consequence of this property we prove (i) the finiteness of the fractal dimension of the corresponding global attractor, (ii) the existence of finite number of determining modes, and (iii) ergodicity of a related random kick model. All these results provide a new information concerning long time dynamics of oceanic motions.

研究动机与目标

• 为具有周期边界条件的3D粘性原始方程建立Ladyzhenskaya形式的压缩性质。
• 证明该系统的全局吸引子具有有限分形维数，从而解决地球物理流体动力学中的一个开放问题。
• 证明存在有限数量的决定性模态，这些模态控制系统的长期动力学行为。
• 利用压缩性质和Kuksin-Shirikyan理论，证明原始方程的随机踢动版本是遍历的。
• 为理解由原始方程控制的海洋和大气模型中的长期行为，提供一种新的分析框架。

提出的方法

• 在Sobolev型空间 $ H^1 $ 中，利用谱投影和能量型不等式推导出解的统一光滑估计。
• 应用谱投影 $ Q_N $ 将状态空间分解为低频和高频分量。
• 使用不等式 $ \|A^{1/2}Q_N u(T)\|^2 \leq q^2 \|A^{1/2}u(0)\|^2 $，其中 $ 0 < q < 1 $，在时间 $ T > 0 $ 内建立压缩性质。
• 依赖于存在一个吸收的正向不变集 $ \mathscr{D} $，以确保初始数据的统一有界性。
• 将Kuksin-Shirikyan遍历性定理应用于具有随机踢动的马尔可夫链模型，结合压缩性质和有限维投影。
• 采用两步正则化方法：首先估计更高阶时间导数，然后利用椭圆正则性恢复空间光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有周期边界条件的3D粘性原始方程系统是否满足Ladyzhenskaya型压缩性质？
• RQ2 该压缩性质能否用于证明全局吸引子的有限分形维数？
• RQ3 是否存在有限数量的决定性模态，能够唯一确定系统的长期动力学行为？
• RQ4 该系统的随机踢动版本是否具有唯一的不变测度并表现出遍历行为？
• RQ5 能否利用统一光滑估计和谱投影技术，建立长期正则性和渐近紧致性？

主要发现

• 系统满足Ladyzhenskaya形式的压缩性质：对任意 $ T > 0 $ 和 $ 0 < q < 1 $，存在 $ N $，使得对所有 $ v_1, v_2 \in \mathscr{D} $，有 $ \|Q_N[\tilde{S}_T v_1 - \tilde{S}_T v_2]\|_{V_1} \leq q \|v_1 - v_2\|_{V_1} $。
• 作为压缩性质的结果，该系统的全局吸引子具有有限分形维数（推论3.6）。
• 存在有限数量的决定性模态，能够唯一确定系统的长期动力学行为（推论3.7）。
• 在适当条件下，该系统的随机踢动版本是遍历的，具有唯一的不变概率测度和指数混合性（推论3.9）。
• 统一光滑估计 $ \|A^{1/2}Q_N u(T)\|^2 \leq \left[ e^{-\nu\lambda_{N+1}T} + \left( \frac{C_{R_*,\varepsilon}}{\alpha_{R_*} + \nu\lambda_{N+1}} + \varepsilon C_{R_*} \right) e^{\alpha_{R_*}T} \right] \|A^{1/2}u(0)\|^2 $ 支持压缩估计的建立。
• 遍历性结果通过Kuksin-Shirikyan定理建立，依赖于压缩性质和有限维投影，其中 $ \| (I-P)[SU - SU_*] \|_H \leq \eta \|U - U_*\|_H $，且 $ \eta < 1 $。