[论文解读] A stability barrier for reconstructions from Fourier samples

Ben Adcock, Anders C. Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文确立了从其前 $ m $ 个傅里叶系数重构解析非周期函数的根本稳定性障碍：任何稳定方法在 $ m $ 上的收敛速度至多为根指数级，而指数级收敛必然导致指数级病态。作者通过一种新型估计方法，对具有有界傅里叶级数的多项式最大行为进行分析，从而证明了这一点，并表明傅里叶延拓提供了一种稳定且超代数收敛的替代方法，可通过收敛至机器精度来规避该障碍。

ABSTRACT

We prove that any stable method for resolving the Gibbs phenomenon - that is, recovering high-order accuracy from the first $m$ Fourier coefficients of an analytic and nonperiodic function - can converge at best root-exponentially fast in $m$. Any method with faster convergence must also be unstable, and in particular, exponential convergence implies exponential ill-conditioning. This result is analogous to a recent theorem of Platte, Trefethen & Kuijlaars concerning recovery from pointwise function values on an equispaced $m$-grid. The main step in our proof is an estimate for the maximal behaviour of a polynomial of degree $n$ with bounded $m$-term Fourier series, which is related to a conjecture of Hrycak & Groechenig. In the second part of the paper we discuss the implications of our main theorem to polynomial-based interpolation and least-squares approaches for overcoming the Gibbs phenomenon. Finally, we consider the use of so-called Fourier extensions as an attractive alternative for this problem. We present numerical results demonstrating rapid convergence in a stable manner.

研究动机与目标

• 确立从傅里叶系数中解析重构吉布斯现象的稳定方法收敛速率的根本限制。
• 解释为何现有具有几何收敛速度的方法通常严重病态，以及为何稳定方法通常收敛缓慢。
• 分析基于多项式的方法（如反多项式重构和最小二乘法）的理论局限性。
• 提出并评估傅里叶延拓作为从傅里叶数据重构解析函数的稳定、高阶替代方法。

提出的方法

• 推导出具有有界 $ m $-项傅里叶级数的 $ n $ 次多项式最大行为的新估计，将 Coppersmith 与 Rivlin 的结果推广至傅里叶设定。
• 利用该估计证明：任何收敛速度为 $ \rho^{-m^\tau} $（其中 $ \rho > 1 $，$ \tau \in (\frac{1}{2}, 1] $）的方法，其病态程度必达 $ \rho^{m^{2\tau - 1}} $，从而确立根指数级障碍。
• 分析反多项式重构方法（IPRM），并证明其为指数级病态，因此在高精度下不切实际。
• 提出傅里叶延拓作为稳定替代方法，其中近似通过将函数延拓至更大区间并计算其傅里叶级数来构建。
• 通过数值实验比较多项式最小二乘法与傅里叶延拓在具有不同奇点的各类测试函数上的表现。
• 使用参数 $ T $ 控制延拓区间的长度，以在傅里叶延拓方法中平衡条件数与收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 从其前 $ m $ 个傅里叶系数重构解析非周期函数时，稳定方法所能实现的最佳收敛速率是什么？
• RQ2 为何实践中具有几何收敛速度的方法常表现出严重的病态性？
• RQ3 基于多项式的最小二乘方法能否在保持稳定的同时实现快于根指数级的收敛？
• RQ4 傅里叶延拓在在多大程度上可通过收敛至机器精度来规避稳定性障碍？
• RQ5 不同类型的函数（如具有边界层、实或复奇点的函数）如何影响重构方法的性能？

主要发现

• 任何从 $ m $ 个傅里叶系数中重构吉布斯现象的稳定方法，其收敛速度至多为根指数级，即对某个 $ \rho > 1 $，收敛速度为 $ \rho^{-m^{1/2}} $。
• 在 $ m $ 上的指数级收敛必然导致指数级病态，意味着此类方法在数值上不稳定。
• 反多项式重构方法（IPRM）被证明为指数级病态，因此在高精度下不实用。
• 通过最小二乘法稳定 IPRM 会将收敛速率降低至根指数级，与理论稳定性障碍一致。
• 傅里叶延拓可实现超代数（通常为几何）收敛至机器精度，且在具有复杂奇点或高频振荡的函数上优于多项式最小二乘法。
• 在实际中，延拓参数 $ T $ 的选择对误差影响极小，因为自由度的增加被每单位自由度的收敛速度减慢所平衡。