[论文解读] A stabilized nonconforming Nitsche's extended finite element method for Stokes interface problems

Xiaoxiao He, Fei Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在非拟合三角剖分上求解Stokes界面问题的稳定化非协调Nitsche扩展有限元法（NXFEM），通过在界面处采用调和加权通量、在切割边界上采用算术通量，并引入稳定化项以确保inf-sup条件。该方法在粘度跳跃和界面位置变化下均表现出最优收敛率与鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, a stabilized extended finite element method is proposed for Stokes interface problems on unfitted triangulation elements which do not require the interface align with the triangulation. The velocity solution and pressure solution on each side of the interface are separately expanded in the standard nonconforming piecewise linear polynomials and the piecewise constant polynomials, respectively. Harmonic weighted fluxes and arithmetic fluxes are used across the interface and cut edges (segment of the edges cut by the interface), respectively. Extra stabilization terms involving velocity and pressure are added to ensure the stable inf-sup condition. We show a priori error estimates under additional regularity hypothesis. Moreover, the errors {in energy and $L^2$ norms for velocity and the error in $L^2$ norm for pressure} are robust with respect to the viscosity {and independent of the location of the interface}. Results of numerical experiments are presented to {support} the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 解决XFEM中混合有限元方法在Stokes界面问题上因网格与界面不匹配而导致的不稳定问题。
• 确保在非拟合网格上，非协调P1/P0有限元对满足inf-sup条件。
• 开发一种方法，无论粘度对比度或界面位置如何，均能保持最优收敛性与鲁棒性。
• 将Nitsche方法与非协调单元及稳定化项相结合，以处理速度与压力在界面处的不连续性。

提出的方法

• 在界面两侧分别使用分段线性多项式表示速度，分段常数多项式表示压力。
• 在界面处采用调和加权通量，在切割边界上采用算术通量，以弱形式强制连续性与跳跃条件。
• 引入涉及速度与压力的额外稳定化项，以稳定混合格式并确保inf-sup条件。
• 采用Nitsche方法弱形式强制界面条件，避免对界面拟合网格的需求。
• 使用非拟合三角剖分，即单元无需与界面匹配，从而实现复杂或时变界面的高效网格生成。
• 在附加正则性假设下进行先验误差分析，推导出能量范数与L²范数下的收敛估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过稳定化使非协调Nitsche的XFEM在非拟合网格上对Stokes界面问题保持最优收敛率？
• RQ2 该方法在流体相之间存在大粘度对比时是否仍保持鲁棒性？
• RQ3 速度与压力的误差是否与界面相对于网格的位置无关？
• RQ4 在存在不连续性的情况下，非协调P1/P0单元对的inf-sup条件是否仍可保持？
• RQ5 该方法在能量范数与L²范数下，速度与压力的收敛行为如何？

主要发现

• 实现了最优收敛率：速度在L²范数下为二阶，压力在能量范数与L²范数下均为一阶。
• 速度在能量范数下的误差收敛阶为1，在L²范数下为2，数值结果验证了收敛率。
• 该方法对粘度跳跃具有鲁棒性：当μ₁/μ₂从10增至10⁵时，误差保持恒定，且在h = 1/32时，速度与压力的误差分别稳定在约0.0737与0.0615。
• 压力在L²范数下的误差与界面位置及粘度对比无关，表现出良好的鲁棒性。
• 数值实验在多个网格细化级别（h = 1/4至1/64）下确认了最优收敛阶，支持理论分析。
• 稳定化项成功维持了非协调P1/P0对的inf-sup条件，使得在非拟合网格上能够实现稳定的混合格式。