[论文解读] A stabilized second order exponential time differencing multistep method for thin film growth model without slope selection

Wenbin Chen, Weijia Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文提出了一种稳定化的二阶指数时间差分多步（sETDMs2）格式，用于无斜率选择的薄膜生长模型，结合人工稳定化、傅里叶伪谱空间离散化以及基于ETD的时间积分方法。该方法实现了无条件的长时间能量稳定性，并在 $\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ 范数下达到 $O(\tau^2)$ 的收敛率，数值实验验证了其在长时间粗化动力学模拟中具有高精度，尺度定律的相对误差小于 $\lesssim 4\%$。

ABSTRACT

In this paper, a stabilized second order in time accurate linear exponential time differencing (ETD) scheme for the no-slope-selection thin film growth model is presented. An artificial stabilizing term $Aτ^2\frac{\partialΔ^2 u}{\partial t}$ is added to the physical model to achieve energy stability, with ETD-based multi-step approximations and Fourier collocation spectral method applied in the time integral and spatial discretization of the evolution equation, respectively. Long time energy stability and detailed $\ell^{\infty}(0,T; \ell^2)$ error analysis are provided based on the energy method, with a careful estimate of the aliasing error. In addition, numerical experiments are presented to demonstrate the energy decay and convergence rate.

研究动机与目标

• 为表现出无界团块斜率的长时间粗化特性的无斜率选择薄膜生长模型，开发一种高阶、无条件能量稳定的时序积分格式。
• 通过引入人工稳定项，克服在梯度流中构造非线性凹项的二阶能量稳定格式的挑战。
• 利用能量法，严格建立长时间能量稳定性及在 $\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ 范数下的 $O(\tau^2)$ 收敛性。
• 通过数值实验验证该格式，展示能量衰减、收敛率以及对表面粗糙度和斜率长时间尺度定律的准确捕捉。

提出的方法

• 在物理PDE中引入人工稳定项 $A\tau^2 \frac{\partial \Delta^2 u}{\partial t}$，以在离散设置下实现能量稳定性。
• 采用二阶指数时间差分（ETD）多步法进行时间离散化，实现对线性部分的精确积分，并对非线性项进行显式处理。
• 使用傅里叶伪谱方法进行空间离散化，确保高精度和谱收敛性。
• 构造一个离散能量泛函，使其模仿连续能量衰减性质 $\frac{dE}{dt} = -\|u_t\|_{L^2}^2$。
• 使用能量法进行详细的误差分析，对非线性项中的混叠误差进行仔细估计。
• 采用自适应时间步长策略：$\tau = 0.01$ 对应 $t < 1000$，$\tau = 0.02$ 对应 $1000 \leq t < 2000$，$\tau = 0.04$ 对应 $t \geq 2000$，并在步长变化后重用初始步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为无斜率选择薄膜模型构造一种二阶时间精度格式，以确保长时间能量稳定性？
• RQ2 添加人工稳定项是否能实现对非线性项显式处理的二阶ETD格式的能量稳定性？
• RQ3 所提格式在 $\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ 范数下的收敛率是多少？该结果在何种时间步长限制下成立？
• RQ4 该格式能否准确捕捉长时间粗化动力学，包括 $h_{\mathcal{N}} \sim t^{1/2}$ 和 $m_{\mathcal{N}} \sim t^{1/4}$ 的尺度定律？
• RQ5 在长时间模拟中，该格式对人工稳定参数 $A$ 的不同取值有多大的鲁棒性？

主要发现

• sETDMs2格式对无斜率选择薄膜生长模型实现了无条件的长时间能量稳定性，其离散能量随时间单调衰减。
• 当 $\tau \leq \frac{1}{8}$ 时，通过能量法与混叠误差控制，理论证明了该格式在 $\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ 范数下具有 $O(\tau^2)$ 的收敛率。
• 数值实验验证了能量衰减与理论预测一致的收敛率，$\ell^2$ 误差范数以二阶速率下降。
• 平均表面粗糙度 $h_{\mathcal{N}}$ 的尺度为 $t^{0.4865 \sim 0.4879}$，平均斜率 $m_{\mathcal{N}}$ 的尺度为 $t^{0.2609 \sim 0.2614}$，与理论预测的 $t^{1/4}$ 和 $t^{1/2}$ 尺度高度吻合。
• 能量 $E_{\mathcal{N}}$ 的尺度为 $-39.26 \sim -39.38 \ln t - 54.36$，与大 $t$ 时理论预测的 $O(-\ln t)$ 衰减一致。
• 不同取值的稳定参数 $A$（包括 $A = 1/8$，$10^{-2}$，和 $\frac{2+\sqrt{3}}{6}$）均产生几乎相同的长时间尺度行为，表明其具有高度鲁棒性。