[论文解读] A stabilized trace finite element method for partial differential equations on evolving surfaces

Christoph Lehrenfeld, Maxim A. Olshanskii+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种稳定化的迹有限元方法（TraceFEM），用于在固定背景网格和时间离散有限差分法下求解演化曲面上的偏微分方程。通过稳定迹弱形式并将其解扩展至曲面的体积邻域，该方法实现了最优收敛率和鲁棒的条件数，且误差估计与条件数界均与曲面位置无关。

ABSTRACT

In this paper, we study a numerical method for the solution of partial differential equations on evolving surfaces. The numerical method is built on the stabilized trace finite element method (TraceFEM) for the spatial discretization and finite differences for the time discretization. The TraceFEM uses a stationary background mesh, which can be chosen independent of time and the position of the surface. The stabilization ensures well-conditioning of the algebraic systems and defines a regular extension of the solution from the surface to its volumetric neighborhood. Having such an extension is essential for the numerical method to be well-defined. The paper proves numerical stability and optimal order error estimates for the case of simplicial background meshes and finite element spaces of order $m\ge1$. For the algebraic condition numbers of the resulting systems we prove estimates, which are independent of the position of the interface. The method allows that the surface and its evolution are given implicitly with the help of an indicator function. Results of numerical experiments for a set of 2D evolving surfaces are provided.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的非拟合有限元方法，用于求解时间依赖曲面上的PDE，无需曲面重构或时空积分。
• 确保在演化曲面上使用高阶有限元时具有数值稳定性与最优收敛率。
• 提供与曲面位置或几何无关的严格误差估计与条件数界。
• 实现通过水平集方法隐式描述曲面，同时保持精度与稳定性。

提出的方法

• 该方法在静态背景网格上采用稳定化的迹有限元弱形式，每时间步将解的迹限制在演化曲面上。
• 通过添加稳定化项来控制条件数，并定义解从曲面向其邻域的体积延拓。
• 时间导数通过标准有限差分近似，避免了时空网格生成或时空流形重构的需求。
• 该方法利用水平集函数隐式描述演化曲面，实现无需显式曲面追踪的几何灵活性。
• 关键组成部分是将解在背景域内沿窄带进行延拓，以确保问题的适定性与稳定性。
• 分析基于几何映射与迹不等式，对扩展域中的误差进行界控，并推导出最优收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无需曲面重构或时空网格生成的前提下，为演化曲面上的PDE开发一种稳定且最优收敛的有限元方法？
• RQ2 如何设计稳定化策略，以确保代数系统的条件数与曲面位置无关？
• RQ3 在演化曲面上的迹有限元框架中，针对高阶有限元可导出何种误差估计？
• RQ4 所生成线性系统的条件数能否与曲面的位置或曲率无关地进行有界控制？
• RQ5 当曲面通过水平集函数隐式定义时，该方法在数值上表现如何？

主要发现

• 对于单纯形背景网格上阶数 $ m \geq 1 $ 的有限元空间，该方法实现了最优阶误差估计。
• 代数系统的条件数与曲面位置或几何无关，确保了鲁棒的条件性。
• 该方法允许通过水平集函数实现隐式曲面描述，而无需显式曲面追踪或时空流形重构。
• 数值实验验证了二维演化曲面上最优收敛率，与理论结果一致。
• 分析表明，误差界中的法向导数项通过稳定化得以控制，最终误差估计依赖于 $ \delta_n $、$ h $ 与 $ \Delta t $。
• 在标准假设下，该方法被证明是稳定且收敛的，最终误差界与网格尺寸和时间步长呈最优标度关系。