[论文解读] A statistical analysis of a deformation model with Wasserstein barycenters : estimation procedure and goodness of fit test

Eustasio del Barrio, Hélène Lescornel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Morphological variations and asymmetry参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文提出了一种非参数统计框架，用于检验变形模型的拟合优度，其中观测到的分布是通过未知的单调变换从一个共同模板变形而来。该方法引入了一种基于Wasserstein均值的准则，建立了在原假设下Wasserstein变异的渐近分布，并提出了一种具有理论保证的基于自展法的检验程序，以实现对分布变形的推断。

ABSTRACT

We propose a study of a distribution registration model for general deformation functions. In this framework, we provide estimators of the deformations as well as a goodness of fit test of the model. For this, we consider a criterion which studies the Fr{é}chet mean (or barycenter) of the warped distributions whose study enables to make inference on the model. In particular we obtain the asymptotic distribution and a bootstrap procedure for the Wasserstein variation.

研究动机与目标

• 开发一种统计框架，用于检验观测到的分布是否源自通过未知单调变形从同一模板生成。
• 解决在具有通用变形函数的分布配准模型中缺乏非参数拟合优度检验的问题。
• 提供一种基于Wasserstein均值作为中心参考的变形参数推断的系统方法。
• 建立在变形模型原假设下Wasserstein变异的渐近分布。
• 构建一种基于自展法的检验程序，以在有限样本中实现对检验统计量的分位数经验估计，确保稳健性。

提出的方法

• 使用变形分布的Wasserstein均值作为中心参考，以对齐和比较观测到的分布。
• 基于变形下经验分布与其均值之间的Wasserstein距离，定义一种匹配准则。
• 在一般模型和原假设模型设置下，应用Wasserstein均值变异的中心极限定理。
• 提出一种自展程序，以在原假设下估计检验统计量的临界分位数，从而实现实际的假设检验。
• 通过delta方法和经验测度的收敛结果，推导出在原假设下检验统计量的渐近正态性。
• 通过耦合论证和经验测度与真实测度之间Wasserstein距离的界，建立自展程序的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一个一般变形模型构造一个非参数拟合优度检验，其中分布是从一个共同模板通过变形得到？
• RQ2 在变形模型的原假设下，Wasserstein均值的变异的渐近分布是什么？
• RQ3 在有限样本中，如何近似检验统计量的经验分布以控制第一类错误？
• RQ4 自展程序对检验统计量有效的正则性条件是什么？
• RQ5 变形参数的估计如何影响检验统计量的渐近行为？

主要发现

• 在一般模型和原假设模型下，均值的Wasserstein变异的渐近分布均被推导出来，且在原假设下采用不同的归一化方式。
• 证明了检验统计量的自展程序是有效的，其自展近似在分布上收敛到真实的抽样分布。
• 真实与经验均值为基础的统计量之间的Wasserstein距离以速率 $ O_P(1/ abla{n}) $ 收敛，确保了一致性。
• 在正则性条件下，$ ilde{v}_{m_n} $（检验统计量的自展版本）满足 $ ilde{v}_{m_n} ightharpoonup rac{1}{2v} ilde{ u} $ 的分布收敛，其中 $ ilde{ u} $ 是原假设下检验统计量的渐近方差。
• 证明了在原假设下，检验统计量的渐近分布是枢轴的，从而可通过自展法估计临界值。
• 本文证明了基于自展法的分位数估计器是一致的，这由Glivenko–Cantelli定理和经验分位数的收敛性所支持。